从Heightmap求法

Question

我正试图用中心差分将一个高度图转换成一个法线矩阵，这将随后对应于给定点的陡度。

我找到了几个有正确结果的链接，但没有解释背后的数学。

  T
L O R
  B

从此链接上，我意识到我可以这样做：

Vec3 normal = Vec3(2*(R-L), 2*(B-T), -4).Normalize();

问题是我不知道2*和-4是从哪里来的。

在中心差分的这种解释中，我看到我们应该将这个值除以2，但我仍然不知道如何连接所有这些。

我真正想知道的是这背后的线性代数定义。我有一个高度图，我想测量中心的差异，我想得到法向量，然后用它来测量陡度。

PS: Z轴是高度.

Answer 1

从向量演算出发，用梯度算子给出了曲面的法态。

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高度图h(x, y)是函数f的一种特殊形式。

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对于离散的高度图，假设网格大小为1，上述两个导数项的一阶近似如下：

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因为从x到R的步骤是2，y的步骤也是一样的。上面的公式就是你的公式，除以4。当这个向量被标准化时，4的因子被取消。

(在写这个答案时没有受到任何线性代数的伤害)