利用正弦函数重建数字信号

Question

我试图用MATLAB中的sinc函数在采样频率800e6处重建信号cos(2*pi*300 e6)。当我输入下面的代码时，我会得到一些非常嘈杂的东西--而不是我想要的东西。我做错了什么？提前谢谢你！

代码：

F1 = 300e6;
Fs = 800e6;
tmin = 0;
tmax = 10/F1;
t = tmin:1e-12:tmax;
x1 = cos(2*pi*F1*t);
Ts = 1/Fs;
ts = tmin:Ts:tmax;
x1resampled = cos(2*pi*F1*ts);
x1reconstructed = zeros(1,length(t)); %preallocating for speed
samples = length(ts);
for i = 1:1:length(t)
    for n = 1:1:samples
        x1reconstructed(i) = sum(x1resampled(n)*sinc(pi*(t(i)-n*Ts)/Ts));
    end
end
figure(1)
subplot(2,1,1)
plot(t,x1)
hold on
stem(ts,x1resampled)
subplot(2,1,2)
plot(t,x1reconstructed)

Answer 1

代码有两个问题：

1. 你没有正确地积累重建的样本。具体来说，您只保留重放信号中的一个值，而不是所有的样本。
2. sinc在MATLAB中使用归一化的正弦函数。这意味着您不必将参数乘以pi。还记得重建公式需要归一化的sinc函数，因此在函数的参数中不存在pi的乘法。

因此，您只需更改for循环中的代码：

F1 = 300e6;
Fs = 800e6;
tmin = 0;
tmax = 10/F1;
t = tmin:1e-12:tmax;
x1 = cos(2*pi*F1*t);
Ts = 1/Fs;
ts = tmin:Ts:tmax;
x1resampled = cos(2*pi*F1*ts);
x1reconstructed = zeros(1,length(t)); %preallocating for speed
samples = length(ts);
for i = 1:1:length(t)
    for n = 1:1:samples
        x1reconstructed(i) = x1reconstructed(i) + x1resampled(n)*sinc((t(i)-n*Ts)/Ts); %%% CHANGE
    end
end
figure(1)
subplot(2,1,1)
plot(t,x1)
hold on
stem(ts,x1resampled)
subplot(2,1,2)
plot(t,x1reconstructed)

我现在得到了这个情节：

​

​

为了提高效率，一定要使用sum函数，但要对所有示例都这样做。因此，您的for循环现在应该是：

for i = 1:1:length(t)
    x1reconstructed(i) = sum(x1resampled .* sinc((t(i) - (1:samples)*Ts) ./ Ts));
end

Answer 2

您可以使用离散傅里叶变换(DFT)完成同样的事情，但效率更高：

F1 = 300e6;
Fs = 800e6;
tmin = 0;
tmax = 10/F1;
t = tmin:1e-12:tmax;
x1 = cos(2*pi*F1*t);
Ts = 1/Fs;
ts = tmin:Ts:tmax;
x1resampled = cos(2*pi*F1*ts);

x1resampledDFT = fftshift(fft(x1resampled));
n = (length(x1)-length(x1resampledDFT))/2;
x1reconstructedDFT = [zeros(1,ceil(n)),x1resampledDFT,zeros(1,floor(n))];
x1reconstructed = ifft(ifftshift(x1reconstructedDFT));
x1reconstructed = x1reconstructed / length(x1resampled) * length(x1reconstructed);

figure(1)
subplot(2,1,1)
plot(t,x1)
hold on
stem(ts,x1resampled)
subplot(2,1,2)
plot(t,x1reconstructed)

​

​

这里发生的事情是，我将DFT (使用fft有效地计算)填充到所需大小的零。然后，逆变换产生使用sinc插值器进行插值的信号。为了保持信号强度，需要一定的归一化。你看到雷林回答的任何不同，都是因为DFT的周期性:基本上，sinc函数在离开右边的信号域时，会从左边返回；右边的数据会影响到图的左边的结果，反之亦然。

要了解有关使用傅里叶变换进行插值的更多信息，请参见这篇博客文章。