求解C*M =N (C，M和N是矩阵)，其中M已知，N的结构在SymPy中给出

Question

我遇到了一个矩阵乘法问题，其中M是一些具有已知值的非奇异3x3矩阵(即M= sympy.Matrix([1，0,0，0，2，0,0，0，0，0，0，(3]C是一个有待确定的3x3矩阵，N的形式如下: 1. N的1和3 3rdrow与C(例如N.row(0)i = C.row(0)i = 0<=i<=2) 2相同。N第2行中的元素是M(例如g N.row(1)1 = sum (M.col(1))中相应列的和)。

在网上搜索了一种将这个问题表达为方程组的方法之后，我什么也没有发现。我一直试图用符号矩阵来解决这个问题，并通过或通过求解三个不同的形式系统( Ax=b )，每个系统由C中的一行乘以M，b作为来自N的列，使得A= M.T，x= (C.row(i)).T和b=N。

象征性地解决它导致了一个可笑的表达，甚至无法被理解，而我也无法从它得到一个数值解。

我最近的尝试如下：

import sympy as sp
def func(mat=matrix([[1, 1, 1], [0, 2, 2], [1, 4, 5]])):
    c11, c12, c13, c21, c22, c23, c31, c32, c33 = sp.symbols('c11, c12, c13, c21, c22, c23, c31, c32, c33')
    M = mat.T

    b1 = sp.Matrix([[x, y, z]]).T
    b2 = sp.Matrix([[sum(M.col(0)), sum(M.col(1)), sum(M.col(2))]]).T
    b3 = sp.Matrix([[a, b, c]]).T

    M1 = M.col_insert(3, b1)
    M2 = M.col_insert(3, b2)
    M3 = M.col_insert(3, b3)

    C1 = sp.linsolve(M1, (x, y, z))
    C2 = sp.linsolve(M2, (x, y, z))
    C3 = sp.linsolve(M3, (a, b, c))

    return C1, C2, C3

调用这会产生以下结果：

>>> func()
({(x + y - z, -x/2 + 2*y - 3*z/2, -y + z)}, {(-3, -17/2, 6)}, {(a + b - c, -a/2 + 2*b - 3*c/2, -b + c)})

Answer 1

我不认为我理解您的代码，但是解决方案实际上很容易猜测：C和N的第一行和第三行必须是M的特征向量，特征值1在一般情况下是不存在的，或者必须是零。中间行的需求是通过C来解决的，因为M是非奇异的，这是唯一的解决方案。

让我们使用好的老numpy来进行数字检查：

import numpy as np
M = np.random.random((3, 3))
M
# array([[ 0.39632944,  0.82429087,  0.88705214],
#        [ 0.39092656,  0.63228762,  0.54931835],
#        [ 0.76935833,  0.40833527,  0.46202912]])
C = np.outer((0,1,0),(1,1,1))
C
# array([[0, 0, 0]
#        [1, 1, 1],                                              
#        [0, 0, 0]])
N = np.outer((0,1,0),M.sum(0))
N
# array([[ 0.        ,  0.        ,  0.        ],
#        [ 1.55661432,  1.86491377,  1.89839961],
#        [ 0.        ,  0.        ,  0.        ]])
np.allclose(C @ M , N)
# True