如何使用多元函数的范畴理论图？

Question

所以，在哈斯克尔生态系统中有很多关于分类的讨论。但我觉得，到目前为止，我已经被渗透吸收的常识中缺少了一部分。(我也读过Mac著名导言的前几页，但我不认为我有足够的数学成熟度，无法将这篇文章中的智慧传递到我手头的实际编程中。)现在我将跟随一个涉及二进制函数的真实世界的例子，我很难用分类的方式来描述这个函数。

因此，我有一个函数链，它允许我使用S -> A，其中A是一个函数的类型同义词，类似于a -> b。现在，我想描述一个执行S -> a -> b的进程，但最后我得到了一个指向另一个箭头而不是对象的箭头。我该如何处理这种困境呢？

我无意中听到有人在谈论一种叫做n类的东西，但我不知道我是否应该试着去理解它是什么以及它是如何有用的。

虽然我相信我的抽象是准确的，但实际的函数是来自selectors的selectors和来自xml-conduit的Axis = Text.XML.Cursor.Cursor -> [Text.XML.Cursor.Cursor]。

Answer 1

我可以用元组投影来描述这种情况，如下所示：

​

-或者用Haskell的实际术语说：

​

此图以反向fst & snd箭头代替二进制函数，该函数从其成分构造元组，而我绝不能直接描述这些箭头。请注意，虽然在这个图表中，Cursor只有一个传入箭头，但我应该记住，在实际代码中，一些真正的箭头X -> Axis & Y -> Cursor应该指向元组的两个投影，而不仅仅是符号投影函数。然后，流将均匀地向左向右流动。

实际上，我用两个源(构造一个元组，而不是一个态射)交换了两个反向箭头(元组的投影，在所有方面都是合法的态射)。

Answer 2

范畴理论中有两种将二元函数建模为态射的方法(n元函数类似地处理--不需要新的机制)。一种是考虑未仓促的版本：

(A * B) -> C

其中，我们以A和B类型的乘积作为起始对象。为此，我们需要类别包含这样的产品。(在Haskell中，产品是(A, B)编写的。从技术上讲，在Haskell中，这并不完全是产品类别，但让我们忽略这一点。)

另一种方法是将结果类型(B -> C)视为类别中的对象。通常，这被称为指数对象，编写为C^B。假设我们的类别有这样的对象，我们可以编写

A -> C^B

这两种二元函数的表示是同构的:使用curry和uncurry，我们可以将它们相互转换。

事实上，当存在这样一个(自然)同构时，我们得到一个所谓的笛卡尔闭范畴，它是最简单的范畴形式，可以描述一个简单类型化的λ演算--每种类型函数语言的核心。

这种同构常被称为两个函子之间的附加关系。

(- * B) -| (- ^ B)