你能给我一个16位(或更多)十进制数字，在第15位时才能正确转换成双精度浮点圆吗？

Question

对于单精度，最小数字保证是6。

也就是说，9999978e3和9999979e3都将“收敛”到9999978496。因此，无论我使用什么小数点，6数字总是由单精度浮点数学保证的(至少对于IEEE 754来说是这样)。

我认为这也适用于双精度，但最小值应该是15。我找不到一个十进制数来证明这一点，因为上面用的是单精度。

你能给我一个吗？或者你怎么找回它？

Answer 1

9007199254740992和9007199254740993都是16位数字，当作为IEEE754双值存储时，两者都具有9007199254740992值。

也就是说，9007199254740993的第16位是个笑话。

我选择这个例子的灵感是，9007199254740992是2的第54次方，仅次于IEEE754双类型的意义中的位数，而第一个十进制数字恰好是9。因此，上面的奇数没有一个是有代表性的，尽管只有16位数字！

坚持IEEE754的双重精度，如果您想要0到1的范围内的示例，那么从并进的rational 0.75开始，并添加order 1e-16的值。很快，您就会发现0.7500000000000005和0.7500000000000006，它们都是0.75000000000000055511151231257827021181583404541015625

Answer 2

我已经详细阐述了一种算法(感谢@Bathsheba技巧)，该算法从小数部分开始，并以所需的数字(在我的例子中为16位)递增，将发现(对于下面的10000小数位)小数，它将与相同的二进制双精度IEEE754表示发生冲突。请随意调整它：

#include <iostream>

int main() {
    std::cout.precision(100);

    long long int decimalPart = 7500000000000005;
    double value, temp = 0.0;

    // add 1e-16 increment
    for(int i = 0; i < 10000; i++) {
        value = decimalPart / 1e16;

        // found
        if(temp == value) {
            std::cout << "decimal found: 0." << decimalPart << std::endl;
            std::cout << "it collides with: 0." << decimalPart - 1 << std::endl;
            std::cout << "both stored (binary) as " << value << std::endl << std::endl;
        }        

        decimalPart += 1;
        temp = value;        
    }
}

Answer 3

你能给我一个16位(或更多)十进制数字，在第15位时才能正确转换成双精度浮点圆吗？

这样的数字并不少见，因此很容易尝试各种字符串，仅限于感兴趣的范围。

在范围广泛的16位十进制文本值中，约10%失败。所有的失败都是以'4'或更多的领先数字开始的--这并不奇怪。

// Although a C++ post, below is some C code

#include <stdbool.h>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>

void form_text_number(char *buf, int significant_digits, int min_expo, int max_expo) {
  unsigned i = 0;
  buf[i++] = (char) (rand() % 9 + '1');
  buf[i++] = '.';
  for (int sd = 1; sd < significant_digits; sd++) {
    buf[i++] = (char) (rand() % 10 + '0');
  }
  sprintf(buf + i, "e%+03d", rand() % (max_expo - min_expo + 1) + min_expo);
}

bool round_trip_text_double_text(const char *s, int significant_digits) {
  double d = atof(s);
  char buf[significant_digits + 10];
  sprintf(buf, "%.*e", significant_digits - 1, d);
  if (strcmp(s, buf)) {
    printf("Round trip failed \"%s\" %.*e \"%s\"\n", s, significant_digits - 1 + 3,d, buf);
    return false;
  }
  return true;
}

测试代码

void test_sig(unsigned n, int significant_digits, int min_expo, int max_expo) {
  printf("Sig digits %2d: ", significant_digits);
  while (n-- > 0) {
    char buf[100];
    form_text_number(buf, significant_digits, min_expo, max_expo);
    if (!round_trip_text_double_text(buf, significant_digits)) {
      return;
    }
  }
  printf("None Failed\n");
}

int main(void) {
  test_sig(10000, 16, -300, 300);
  test_sig(10000, 16, -1, -1);
  test_sig(1000000, 15, -300, 300);
  test_sig(1000000, 15, -1, -1);
  return 0;
}

输出

Sig digits 16: Round trip failed "8.995597974696435e+110" 8.995597974696434373e+110 "8.995597974696434e+110"
Sig digits 16: Round trip failed "6.654469376627144e-01" 6.654469376627144550e-01 "6.654469376627145e-01"
Sig digits 15: None Failed
Sig digits 15: None Failed

注意:当double被打印为多个失败字符串的3个额外数字时，这3个数字在445到555之间。