用Python计算低阶逼近

Question

给定维数为nxn的矩阵M，如何计算低秩因式分解，使M= L.T * L，其中L是维数kxn。到目前为止，我只看到这是使用SVD完成的，这并不完全是我想要的，因为这个方法给出了M= U_S_V和U.T != S*V，而不是(L.T).T == L。

另一种选择可能是使用某种形式的优化来找到L，但是这并不简单，因为我已经尝试过几种来自SciPy的优化方法，它们在frobenius范数下的差别为M-L.T*L，到目前为止我还没有成功。

编辑：，我忘记了，通过使用scikit的非负矩阵分解类，我可以通过将L和L.T作为优化的候选矩阵来部分实现这一点。然而，我的矩阵M不是非负的，因此这个方法不适用于我。

Answer 1

答案取决于你对矩阵的了解。

如果矩阵是半正定的，你可以使用Cholesky Factorization，用旋转来保持稳定性。

在其他假设下，可能不存在解决办法。

例如，可能不存在解决方案，但下列矩阵没有解决方案：

[[0, 1],
 [0, 0]] 

证明:假设答案存在。然后，解决方案看起来如下：

L = [[a, b],
     [c, d]]

因此，以下内容必须是真实的：

1. a*a + b*c == 0
2. d*d + b*c == 0
3. c * (a+d) == 0
4. b * (a+d) == 1

根据3. (c == 0) or ((a+d) == 0)

如果是c == 0，则根据1和2. a == 0和d == 0。如果这是真的，那么(a+d) == 0，它使4.不可能。

如果(a+d) == 0那么4.是不可能的。

通过矛盾，我们知道，不可能有一个分解，你要求用这个矩阵。