用“l平方曲线”拟合高斯时初始点的局部最小值

Question

我正在编写MATLAB代码，意图做一些配件。我用二阶高斯模拟了一幅图(见下面的代码)，并尝试使用lsq弧度函数进行拟合。不幸的是，MATLAB返回与“优化”参数相同的猜测值，并且显然陷入了局部最小值。

有人能不能给我一些建议，说明这里可能出了什么问题？我知道，如果猜测远离‘真’值，那么这是可能的，但我期望MATLAB返回一个更接近真值的答案。改进对[29,0]的初始猜测(这比实际值更接近)将产生相同的输出:初始值是一个局部最小值。

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function z= testfunction(x, xdata);

sigma=x(1)/(2*sqrt(2*log(2)));

z=((xdata.^2-2*x(2)*xdata-sigma.^2+x(2)^2)./(sigma^5*sqrt(2*pi))).*exp(-(xdata-x(2)).^2/(2.*sigma.^2));

end
%%%%%%%%


% Simulate Data

xdata= -50:1:50;

ydata = testfunction([30,0],xdata);

% Fit Data 

xfit = lsqcurvefit(@testfunction,[19,-4],xdata, ydata );

xfit(1)
xfit(2)

yfit=testfunction([xfit(1),xfit(2)],xdata);

% Plot Data;
plot(xdata,yfit);
hold on;
plot(xdata,ydata,'o')

输出：

Initial point is a local minimum.

Optimization completed because the size of the gradient at the initial point 
is less than the default value of the optimality tolerance.

<stopping criteria details>


ans =

    19


ans =

    -4

Answer 1

简短回答：检查停止标准的详细信息，并相应地更改停止标准：

options = optimoptions('lsqcurvefit','OptimalityTolerance', 1e-16, 'FunctionTolerance', 1e-16);
xfit = lsqcurvefit(@testfunction,[19,-4],xdata, ydata, [], [], options);

有什么问题？

lsqcurvefit是一个数值求解器，因此使用一个停止准则来确定是否充分达到了局部最小值。一般来说，你永远无法得到确切的解决方案。因此，解决问题的方法是更改停止条件以请求更精确的解决方案。

如何解决？

通过单击“停止条件详细信息”，您将得到以下解释：

优化完成:最后一点是初始点。一阶最优测度7.254593e-07小于options.OptimalityTolerance = 1.000000e-06. 优化度量选项相对一阶最优性= 7.25e-07 OptimalityTolerance = 1e-06 (默认)

所以，你应该降低OptimalityTolerance (f.e。(致1e-16)：

options = optimoptions('lsqcurvefit','OptimalityTolerance', 1e-16);
xfit = lsqcurvefit(@testfunction,[19,-4],xdata, ydata, [], [], options);

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上面的图像显示了新的结果，这比以前的效果要好，但还不是很好。通过再次检查停止条件，您将看到还需要更改FunctionTolerance

options = optimoptions('lsqcurvefit','OptimalityTolerance', 1e-16, 'FunctionTolerance', 1e-16);

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为什么默认选项那么糟糕？

注意，您需要调整停止条件，因为您的函数返回相对较小的值。在没有任何选项规范的情况下，将z乘以1000因子也会得到一个很好的匹配：

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