插值已知缺失时间间隔之间的三维坐标

Question

数据是太空中的一条路径。我有三维定位数据(x，y，z)和定位点被记录的时间。

X，y，z坐标是在三维空间中移动的物体的点位置。时间值是记录每个点的时间(从0开始)。

x     y    z    time(s)
0.1   2.2  3.3  0
2.4   2.4  4.2  0.3
4.5   2.5  1.8  0.6

我最终会错过一些录音活动。(这已知并被接受为true)，数据流将在不同的时间间隔内继续进行：

x     y    z    time(s)
0.1   2.2  3.3  0
2.4   2.4  4.2  0.3
//missing x,y,z data point at time 0.6
//missing x,y,z data point at time 0.9
4.5   2.5  1.8  1.2
...
...

请注意，数据已简化。我的目标是在已知的缺失时间内插入缺失的3D点。我研究过各种插值技术，但我不完全确定哪种插值方法适合我的问题。

( 1)有人能简明扼要地解释一下这是什么问题吗？我的数学非常生疏，我不知道如何恰当地描述它，这导致我研究可能不合适的插值技术。

2) 更新1三次插值不适用于这里，因为我没有在三维空间中使用网格。我在研究一个轨迹。我已经在Apache math3公域中找到了一个math3，但是我不确定这是否是我所需要的。如果你看一下它需要的参数，它需要一个double[] fval矩阵，我不确定。

3)如果不是最适合Java的话，什么是最好的工具来插值这些数据？

更新2-关于谱的解决方案的问题

在您的编辑中，您将提供以下关于“匹配连接点的第一个派生”的技巧：

让我们定义我们的t=<-2,+2>并像这样对控制点进行采样(这真的不重要，它将如何影响系数大小，包括-1,0,1将大大简化方程)：

p(-2) = p0
p(-1) = p1
p( 0) = p2
p( 1) = p3

现在假设我们想要插值区间t=<0,1>上的所有点，所以p2和p3之间的所有点。我们想要连续的分段曲线，所以在连接点上的第一个导子应该匹配。我们在左边还有一个控制点，所以第二个派生也可以在那里匹配：

p'(0) = 0.5*((p3-p2)+(p2-p1)) = 0.5*(p3-p1)
p'(1) = 0.5*((p4-p3)+(p3-p2)) = 0.5*(p4-p2)
p''(0)= 0.5*(((p2-p1)-(p1-p0))+((p4-p3)-(p3-p2)))
      = 0.5*((p2-2*p1+p0)+(p4-2*p3+p2))
      = 0.5*(p0+p4)-p1+p2-p3

希望我在第二次推导中没有犯任何愚蠢的错误。现在只需用已知的控制点代替p(t)，形成方程组，从p0,p1,p2,p3,p4代数地计算a0,a1,a2,a3,a4。

1)你所说的joint points是什么意思

2)在哪里？

p'(0) = 0.5*((p3-p2)+(p2-p1)) = 0.5*(p3-p1)
p'(1) = 0.5*((p4-p3)+(p3-p2)) = 0.5*(p4-p2)

来自?它们与p(0) = p2和p(1) = p3有任何关系吗？它们能是你选择的吗？

它可以重新写成p'(0) = 0.5*((p(3)-p(0)) + (p(0)-p(-1))，对吗？我不清楚为什么要这样做。也不知道为什么能做到

2b)类似的问题

p''(0)= 0.5*(((p2-p1)-(p1-p0))+((p4-p3)-(p3-p2)))
      = 0.5*((p2-2*p1+p0)+(p4-2*p3+p2))
      = 0.5*(p0+p4)-p1+p2-p3

但我认为，澄清问题2)将减轻我对2b的模糊性，因为我不知道这两种方程是从何而来的。

下面是非常直截了当的，然后就是方程组

Answer 1

由于您的数据很可能只是一些光滑的曲线取样点，所以我将使用三次插值多项式，如下所示：

• C#/Unity3D中分段线性整数曲线插值

曲线特性使得它通过所有控制点(t={-1,0,+1,+2})，内部控制点处的方向(第一次推导)是展位边的平均连接(类似于Bezier立方体)。

阿尔戈是这样的：

1. 在缺失点前取2分，后取2个点 让我们称它们为p0,p1,p2,p3，它们应该是理想的时间等距的.并按时间排序。
2. 计算每个轴的4个系数 d1=0.5*(p2.x-p0.x)；d2=0.5*(p3.x-p1.x)；ax0=p1.x；ax1=d1；ax2=(3.0*(p2.x-p1.x))-(2.0*d1)-d2；ax3=d1+d2+(2.0*(-p2.x+p1.x))；d1=0.5*(p2.y-p0.y)；d2=0.5*(p3.y-p1.y)；ay0=p1.y；ay1=d1；Ay2=(p2.y-p1.y)-(2.0*D1)-d2；ay3=d1+d2+(2.0*(-p2.y+p1.y))；d1=0.5*(p2.z-p0.z)；d2=0.5*(p3.z-p1.z)；az0=p1.z；az1=d1；az2=(3.0*(p2.z-p1.z))-(2.0*d1)-d2；az3=d1+d2+(2.0*(-p2.z+p1.z))；
3. t=<0,1> 将参数设置为与缺失时间对应的值 因此，如果选择点p0,p1,p2,p3和时间t0,t1,t2,t3，那么缺少的时间tm对应于参数： T= (tm-t1)/(t2-t1)；
4. 计算缺失点. x=ax0+ax1*t+ax2*t*t+ax3*t*t*t y=ay0+ay1*t+ay2*t*t+ay3*t*t*t z=az0+az1*t+az2*t*t+az3*t*t*t

你可以使用高阶多项式，如果这是不够的，通过推导类似的方程或拟合。还请看一下以下内容：

• 如何产生多点线性插值？

Edit1构造自己的多项式

您的评论的答案是在edit2 of 三次样条和catmull样条对图像的影响中，该链接在前面的链接中也有链接。要以类似的方式进行4次插值多项式，您将有5点(p0,p1,p2,p3,p4)和方程：

p(t)= a0 + a1*t + a2*t*t + a3*t*t*t + a4*t*t*t*t
p'(t) =    a1 + 2*a2*t + 3*a3*t*t + 4*a4*t*t*t
p''(t) =        2*a2   + 6*a3*t   +12*a4*t*t

让我们定义我们的t=<-2,+2>并像这样对控制点进行采样(这真的不重要，它将如何影响系数大小，包括-1,0,1将大大简化方程)：

p(-2) = p0
p(-1) = p1
p( 0) = p2
p( 1) = p3
p( 2) = p4

现在假设我们想要插值区间t=<0,1>上的所有点，所以p2和p3之间的所有点。我们想要连续的分段曲线，所以在连接点上的第一个导子应该匹配。我们在左边还有一个控制点，所以第二个派生也可以在那里匹配：

p'(0) = 0.5*((p3-p2)+(p2-p1)) = 0.5*(p3-p1)
p'(1) = 0.5*((p4-p3)+(p3-p2)) = 0.5*(p4-p2)
p''(0)= 0.5*(((p2-p1)-(p1-p0))+((p4-p3)-(p3-p2)))
      = 0.5*((p2-2*p1+p0)+(p4-2*p3+p2))
      = 0.5*(p0+p4)-p1+p2-p3

希望我在第二次推导中没有犯任何愚蠢的错误。现在只需用已知的控制点代替p(t)，形成方程组，从p0,p1,p2,p3,p4代数地计算a0,a1,a2,a3,a4。提示使用t=0,t=+1和t=-1，这样你就可以得到线性方程组了。例如：

p( 0) = p2 = a0 + a1*0 + a2*0*0 + a3*0*0*0 + a4*0*0*0*0
        p2 = a0

如您所见，a0的计算非常简单，同样也可以用于派生：

p'(0) = 0.5*(p3-p1)          = a1 + 2*a2*0 + 3*a3*0*0 + 4*a4*0*0*0
p''(0)= 0.5*(p0+p4)-p1+p2-p3 =      2*a2   + 6*a3*0   +12*a4*0*0
-------------------------------------------------------------------
        0.5*(p3-p1)          = a1  
        0.5*(p0+p4)-p1+p2-p3 =      2*a2
-------------------------------------------------------------------
        0.5*(p3-p1)                 = a1  
        0.25*(p0+p4)-0.5*(p1+p2-p3) = a2
-------------------------------------------------------------------

现在使用t=+1和t=-1并计算a3,a4。您可以设置连接点派生以满足您的特定需求(不仅是从左和右派生的平均值)，而且形成像您这样的连续曲线是最好的(根据我的经验)。