有限资源C中线性输入曲线向对数型输出曲线的数学转换

Question

我需要作出数学转换的输入值(线性曲线)到输出值(“对数或指数”曲线)在单片机上有限的资源(内存，时钟速度)。

但是这个问题是比较一般的C程序设计问题。

比如说，我们有两个变量：uint8_t input和uint8_t output。输入值为0-255。输出值也应该是0-255，但与输入不成线性关系。

例如(输入==>输出)：

    0   ==> 0
    1   ==> 1
    10  ==> 1
    100 ==> 10
    200 ==> 75
    250 ==> 225
    255 ==> 255

比方说，我可以做数学转换，比如“2^(输入/32)-1”，我可以实现一些接近我所需要的东西。我试过：

output = (pow(2, (input/32)))-1

但是，根据uint8_t类型变量的局限性，我将得到2: 1，2，4的输出。最多128次(减1次)，它们之间没有平稳过渡：

    0   ==> 0
    1   ==> 0
    10  ==> 0
    100 ==> 7
    200 ==> 63
    250 ==> 127
    255 ==> 127

另外，由于单片机资源有限，我不喜欢使用pow()。我可以通过在内存中使用表实现所需的结果，但是(再次)它将花费256字节的ROM，什么是不可接受的。我也可以用更小的桌子做个近似，但是..。

在低资源单片机的uint8-uint32算法中，可能还有其他的数学方法来实现这一结果吗？

编辑：“正确的”公式和数字不存在。输出数字可能会有所不同。在"input=0“==> "output=0"，"input=255”==> "output=255“。需求:最小且编译速度最快的代码。预期结果应该接近此图(在uint8_t中)：

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Answer 1

比方说，我可以做数学转换，比如“2^(输入/32)-1”，我可以实现一些接近我所需要的东西。

通过使用余数进行线性插值，您可以得到2^(input/32)的近似。假设input是整数，则可以使用简单的8位计算计算(1 + (input%32)/32.0) * pow(2, input/32)的等效值：

uint8_t f(uint8_t input) {
    uint8_t t = (input & 31) + 32;
    uint8_t u = input >> 5;
    return u < 5 ? t >> (5 - u) : t << (u - 5);
}

这将给出两次幂之间的线性插值，如下所示：

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更新(数学背景)

我们希望近似函数f(input) = pow(2.0, input/32.0)，它只需要整数运算的浮点运算。显而易见的方法是将范围0-255拆分为大小为32的子范围，并在0, 32, 64, 96, 128, 160, 192上使用只能使用整数计算的值，然后对之间的值执行简单的线性插值。现在假设我们要近似一些input的函数值，例如32*u <= input < 32*(u+1)，其中u是一个整数。我们知道结尾处的值：f(32*u) = 2^u和f(32*(u+1)) = 2^(u+1)。利用线性插值，我们得到了以下近似：

f_approx(input) = [f(32*(u+1))*(input - 32*u) + f(32*u)*(32*(u+1) - input)]/32

现在让我们简化一下：

f_approx(input) = [2^(u+1)*(input - 32*u) + 2^u*(32 - (input - 32*u))]/32
f_approx(input) = 2^u*[2*(input - 32*u) + 32 - (input - 32*u)]/32
f_approx(input) = 2^u*[(input - 32*u) + 32]/2^5
f_approx(input) = [(input - 32*u) + 32]*2^(u-5)

现在，如果我们注意到32是2的一个幂，我们可以看到，与input % 32相同的(input - 32*u)也可以计算为input & 31。因此

f_approx(input) = t*2^(u-5)

在return中，三元if只是处理u-5的符号，用移位来计算2的幂。