SuperLu与LaPack的对比研究在用鲤鱼做基准测试时失败

Question

我想比较一下SuperLu稀疏求解器的速度和使用LaPack时使用spsolve()的密集版本的速度。因此，我编写了这个程序：

#include "stdafx.h"
#include <iostream>
#include <Windows.h>
#include <armadillo\armadillo>

#define SIZE 2500
#define ROUNDS 2500

int main()
{
    //Time measurement stuff
    LARGE_INTEGER frequency;
    LARGE_INTEGER t1, t2, t3, t4;
    QueryPerformanceFrequency(&frequency);
    //Other stuff
    arma::cx_colvec b = arma::randu<arma::cx_colvec>(SIZE);
    arma::cx_colvec b1 = b, b2 = b;
    arma::sp_cx_mat A = arma::sp_cx_mat(SIZE, SIZE);
    A.diag(-2).fill(-1);
    A.diag(-1).fill(16);
    A.diag(0).fill(-30);
    A.diag(1).fill(16);
    A.diag(2).fill(-1);


    arma::cx_colvec c = arma::zeros<arma::cx_colvec>(SIZE), d = arma::zeros<arma::cx_colvec>(SIZE); 
    QueryPerformanceCounter(&t1);
    for (size_t i = 0; i < ROUNDS; i++)
    {
        if(arma::spsolve(c, A, b1, "superlu") == false)
        {
            std::cout << "Error in round 1\n";
            break;
        }
        b1 = c;
    }
    QueryPerformanceCounter(&t2);
    QueryPerformanceCounter(&t3);
    for (size_t i = 0; i < ROUNDS; i++)
    {
        if(arma::spsolve(d, A, b2, "lapack") == false)
        {
            std::cout << "Error in round 2\n";
            break;
        }
        b2 = d;
    }
    QueryPerformanceCounter(&t4);
    std::cout << "Superlu took " << (t2.QuadPart - t1.QuadPart)*1000.0 / frequency.QuadPart << '\n';
    std::cout << "Lapack took " << (t4.QuadPart - t3.QuadPart)*1000.0 / frequency.QuadPart << '\n';
    std::cout << "Both results are equal: " << arma::approx_equal(b1, b2, "abstol", 1e-5) << '\n';
    return 0;
}

现在，对于SIZE和ROUND的小值，函数approx_equal返回true，但对于较大的值，根据approx_equal，结果b1和b2不再相等。为什么？问题是我的超级图书馆不能正常工作吗？

Answer 1

我不怪SuperLU库。这里的“问题”似乎是矩阵A的最小特征值变得越来越小，而SIZE的值却越来越大。现在，for循环重复地将inv(A)应用于给定的向量。由于你开始的向量是随机的，它将有一些与最小特征值相对应的A特征向量的非零“混合”。如果多次重复反演，该分量就会明显放大，从而使矢量b1/b2的各个分量变得很大。

例如，对于SIZE=2000和ROUNDS=2，我得到解决方案的最大组件(绝对值)在10^9附近。因此，您的测试似乎对10^-5有绝对的容忍度。然而，对于如此大的数字，这将意味着14个重要数字必须完全匹配，这几乎是在双重精度的极限。在我看来，考虑到这里比较的数字的性质，测试更有意义，例如approx_equal(b1, b2, "reldiff", 1E-8)的相对误差。

另外，我们应该检查解决方案实际上是否有意义--对于大量的ROUNDS来说，它迟早会溢出。例如，对于SIZE=2000和ROUNDS=80，我在b1/b2向量中得到无穷大.