模态算子可以定义为布尔函数吗？

Question

为了简单起见，我们只考虑具有单个agent的克里普克结构，它的知识是由模态算子K描述的。我们知道，在所有相应的克里普克结构中，K是用等价来解释的，其中对任何公式A都适用。

a)公式KA -> A(知识公理)有效，

( b)但公式A、->、KA和A无效。

利用这些事实表明，模态运算符K的这种行为不能由任何布尔函数(即。(表定义的真值)。

提示：假设可以使用K的真值表从A的真值计算KA的真值(与A计算形式相同)。考虑K的所有可能的真值表，并表明它们都没有赋予上述属性( a)和( b)。

我不明白这个暗示..。制作K的真值表就像构造否定符号的真值表，在我看来这是没有意义的，我认为只有否定而不只是否定才有意义。

Answer 1

考虑K的所有可能的真值表：

| A | K₁A | K₂A  | K₃A | K₄A |
—————————————————————————————
| 1 |  1  |  1  |  0  |  0  |
—————————————————————————————
| 0 |  1  |  0  |  1  |  0  |

表明他们没有授予上述属性( a)和( b)。

案例1

| A | KA  | KA->A | A->KA | ¬KA |
—————————————————————————————————
| 1 |  1  |   1   |   1   |  0  |
—————————————————————————————————
| 0 |  1  |   0   |   1   |  0  |

在这种情况下，KA->A不是重言式。

案例2

| A | KA  | KA->A | A->KA | ¬KA |
—————————————————————————————————
| 1 |  1  |   1   |   1   |  0  |
—————————————————————————————————
| 0 |  0  |   1   |   1   |  1  |

在这种情况下，A->KA是一个重言式。

案例3

| A | KA  | KA->A | A->KA | ¬KA |
—————————————————————————————————
| 1 |  0  |   1   |   0   |  1  |
—————————————————————————————————
| 0 |  1  |   0   |   1   |  0  |

在这种情况下，KA->A不是重言式。

案例4

| A | KA  | KA->A | A->KA | ¬KA |
—————————————————————————————————
| 1 |  0  |   1   |   0   |  1  |
—————————————————————————————————
| 0 |  0  |   1   |   1   |  1  |

在这种情况下，¬KA是一个重言式。

K的期望行为能被多值矩阵编码吗？

对于道德模式系统，其答案如下：

• 3个数值不足，
• 对于所谓的基本模态逻辑来说，4个值就足够了，
• 任何有限的数值都不足以满足句法上的“满”和演绎的“自然”模态系统。

参见Jean在“文章”中的介绍部分.

我希望这些结果对认知模态系统有一定的指导意义。