R中的三维预测极限

Question

让一个有3个变量的数据集(这里是正常的和独立的，但它们可以相互关联)

data = data.frame(x1 = rnorm(10000),
x2 = rnorm(10000),
x3 = rnorm(10000))

我想得到x1，x2和x3的最窄范围，使95%的观测结果都在这三个范围之内。

到目前为止，我有下面的代码。

is.between <- function(x, a, b){
    x <= max(c(a, b)) & x >= min(c(a, b))
  }   
getlims <- function(lims, x1, x2, x3){
      abs(mean(
        is.between(x1, lims[1], lims[2]) & 
          is.between(x2, lims[3], lims[4]) & 
          is.between(x3, lims[5], lims[6]) 
      ) - 0.95) 
    }

optim(initial_values, getlims, x1=x1,x2=x2,x3=x3)

其中lims5,6 1，2是x1的范围，lims5，6 3，4是x2的范围，lims5，6 5，6是x3的范围。

它提供了包含我观察到的95%的限制，但并不保证它会是较小的体积限制值1，2* limits 3，4*limits 5，6。

Answer 1

我认为这实际上是一个离散优化的问题。它是在三维空间中给出的，我把它在两个维度中重新表述，以便有一个更好的可视化，它可以立即扩展到更多的维度。

让我们试着把它作为一个带约束的非线性优化问题来解决。

set.seed(1009)
N <- 1000
x <- rnorm(N); y <- rnorm(N)

还需要这些坐标的0.05和0.95分位数。

q1 <- quantile(x, 0.05); q2 <- quantile(x, 0.95)
q3 <- quantile(y, 0.05); q4 <- quantile(y, 0.95)

我们定义了两个函数，fmin是要最小化的函数，fbnd是定义约束的函数。也就是说，我们需要fbnd(x) >= 0，用这种方式表示至少95%的点位于矩形内。

fmin <- function(p) (p[2]-p[1]) * (p[4]-p[3])
fbnd <- function(p) {
    c(0.05 - sum(x < p[1] | x > p[2] | y < p[3] | y > p[4]) / N,
      q1 - p[1], p[2] - q2,
      q3 - p[3], p[4] - q4 )
}

作为起点，我们可以取x坐标和y坐标的范围。

start <- c(range(x), range(y))

优化求解器必须最小化具有非线性约束的函数。软件包nloptr中的auglag例程是候选求解器。

S <- nloptr::auglag(start, fn=fmin, hin=fbnd)
S$par; S$value
# [1] -2.301263  2.308038 -2.079166  2.130744
# [1] 19.40474

我们可以通过将矩形边界移动到下一个上或下x- resp来改进解。Y坐标。这是一个必要的步骤，因为目标函数是局部恒定的。

r <- S$par
r[1] <- min(x[x >= r[1]]); r[2] <- max(x[x <= r[2]])
r[3] <- min(y[y >= r[3]]); r[4] <- max(y[y <= r[4]])
r
# [1] -2.299467  2.281395 -2.079166  2.127260

我们可以看到，50点在长方形之外，面积是19.26905。

(r[2]-r[1]) * (r[4]-r[3])                          # 19.26905
sum(x < r[1] | x > r[2] | y < r[3] | y > r[4])     # 50

解决方案可能仍然是一个局部的最低限度。幸运的是，目标函数也是局部单调的，因此通常不会发生这种情况。当然，可以通过应用全局求解器来验证解决方案。