除非计算出的特征值数目很大，否则Matlab的特征值不收敛

Question

我试图用下列运动方程计算阻尼结构的特征值λ(λ)：

(M+λC + K) x =E 210，

其中M、C和K是稀疏矩阵。使用MATLAB的polyeig函数工作，但我想去更大的系统，并利用我的矩阵稀疏性。利用状态空间线性化得到了广义特征值问题如下：

(A -λB) z = ，

使用

A = K，；，-ME 235，

B = -C，-M；-M，e 245，

z = x；λx

用MATLAB的eigs函数解决这个问题：

lambda = eigs(A,B,10,'sm')

产生以下输出：

lambda =
   1.0e+03 *
  -0.2518 - 1.3138i
  -0.2518 + 1.3138i
  -0.4690 - 1.7360i
  -0.4690 + 1.7360i
  -0.4690 - 1.7360i
  -0.4690 + 1.7360i
  -0.5387 - 1.8352i
  -0.5387 + 1.8352i
      NaN +    NaNi
      NaN +    NaNi

前八个特征值是正确的，但似乎最后两个特征值无法收敛。增加Lanczos基向量的数量似乎并没有改善这个问题。

然而，奇怪的是，增加计算出的特征值(k)的数量可以使越来越多的特征值收敛：

• k = 10：收敛的lambdas数=8
• k = 20：收敛的lambdas数=8
• k = 50：收敛的lambdas数=8
• k = 100：收敛的lambdas数= 20
• k = 120：收敛的λ数= 80
• k = 150：收敛的λ数= 150

还值得一提的是，许多不收敛于较低的k值的特征值似乎是退化的，或者至少是非常接近的距离。

我想知道是否有人能为这种行为想出一个解释？如果是这样的话，有没有办法使所有的特征值在不使k非常大的情况下收敛？谢谢!

Answer 1

这是旧的，但仍然没有答案。没有实际的矩阵，就很难确定。这是我最好的猜测：

eigs调用ARPACK例程。ARPACK利用迭代方法(Arnoldi)收敛于最小幅值的特征值(选项sm)。对于任何迭代方法，用户可以在迭代过程停止之前指定像收敛Tolerance和MaxIterations这样的选项。NaNs表示到达MaxIterations时尚未收敛的特征值。

Arnoldi方法的一个重要选择是用于逼近解的Krylov子空间的维数。这可以由SubspaceDimension选项在eigs中指定。默认值是max(2*k,20)，因此增加k有效地增加了Krylov子空间的维数。如果您的问题需要一个相对较大的Krylov子空间来将某些特征值收敛到所需的Tolerance，这可以解释为什么增加k会产生更多特征值的收敛。

要验证我的猜测是否正确，要么使用限制较少的Tolerance (e-6可能就足够了？)或增加SubspaceDimension的值，同时保持k不变。