雅可比行列式标度因子的理解与推导

Question

我一直在努力理解雅可比行列式。我希望有人能给我一个指针。

我在互联网上找到的大多数资料都没有给出雅可比行列式的推导。

其中一个网站是：http://tutorial.math.lamar.edu (否则，我觉得它相当不错)。

我花了很多时间来加深对雅可比行列式的理解。

我使用定义uv轴的转换，以及区域/区域上的函数集成如何与转换一起工作。

例如，当我从以下简单转换开始时：

u = ( x - y )/√2
v = ( x + y )/2√2

它是离笛卡儿xy轴-45°的uv轴，v轴是标度的2倍，即v=1映射到xy-弦长度的2个单位。

因此，我认为uscale = 1，vscale = 2，用于上述转换。

有了这个uv轴，我可以简化一个从x轴45°旋转的10x20矩形区域，使x轴45°处的较长维点。

通过这样的例子，我开始发展雅可比行列式工作的直觉。

我理解雅可比行列式是一个标度因子，用来将uv轴上的面积测量转换成xy维。

用公式Δu xΔv，其中Δu = 10，Δv = 10，因为v比例尺=2，给出了uv轴的面积测量。

Jacobian行列式标度因子= uscale x vscale (相当直观)。

面积x-维=Δu xΔv x (uscale X vscale) = 10 x 10 x1 x2= 200。

在这样一个简单的uv平方上，体积的积分可能比在相同的xy区域上更容易，出现在一个角度上。

有了以上的初步理解，我试图找出雅可比行列式是如何导出的。

源自上述转换公式：

dx/du = √2 / 2
dx/dv = √2
dy/du = -√2 / 2
dy/dv = √2

我还可以从几何学中得出以下结论：

dx/du = uscale cos Θ
dy/du = uscale sin Θ
dx/dv = vscale cos (90° - Θ)
dy/dv = vscale sin (90° - Θ)

我可以得到：

areaInXY / areaInUV = uscale x vscale

这符合我的理解。

然而，雅可比行列式公式是：

∂(x, y) / ∂(u, v) = ∂x/∂u ∂y/∂v - ∂x/∂v ∂y/∂u
  = uscale * vscale * cos 2Θ

这让我非常困惑为什么我有额外的cos 2Θ因子，这是不直观的--为什么面积缩放因子将取决于矩形是如何旋转的，从而如何旋转uv轴？！

有人能看出我的推理在上面哪里出错了吗？

Answer 1

让我来解释一下雅可比行列式的基本作用。对于从R^n到R^n的光滑函数，这通常是正确的，但为了简单起见，假设我们正在处理R^2，设F(x，y)是光滑的R^2到R^2函数。然后我们可以说，F(x，y)将x坐标发送给f1(x，y)，y坐标在点(x，y)处发送给f2(x，y)。然后考虑一个由点(x，y)，(x+dx，y)，(x，y+dy)和(x+dx，y+dy)定义的无穷小矩形区域。现在，这个无穷小矩形的面积是dxdy。当这个矩形经过F(x，y)变换时会发生什么？我们将F(x，y)应用于这四个坐标中的每一个，并得到以下几点：

A:(x,y)->(f1(x,y),f2(x,y))
B:(x+dx,y) -> (f1(x+dx,y),f2(x+dx,y)) (approx.)= (f1(x,y) + (∂f1/∂x)dx,f2(x,y) + (∂f2/∂x)dx)
C:(x,y+dy) -> (f1(x,y+dy),f2(x,y+dy)) (approx.)= (f1(x,y) + (∂f1/∂y)dy,f2(x,y) + (∂f2/∂y)dy)
D:(x+dx,y+dy) -> (f1(x+dx,y+dy),f2(x+dx,y+dy)) (approx.)=(f1(x,y) + (∂f1/∂x)dx + (∂f1/∂y)dy,f2(x,y) + (∂f2/∂x)dx + (∂f2/∂y)dy)

等式近似相等，在dx和dy = 0的极限下，它们是函数F在新点上的最佳线性逼近。(我们从函数f1和f2的泰勒逼近的一阶部分得到这些结果)。

如果我们查看变换F(x，y)下的新(近似)区域，我们会看到转换点a之间的新距离向量：

B-A:((∂f1/∂x)dx,(∂f2/∂x)dx)
C-A:((∂f1/∂y)dy,(∂f2/∂y)dy)
D-C:((∂f1/∂x)dx,(∂f2/∂x)dx)
D-B:((∂f1/∂y)dy,(∂f2/∂y)dy)

正如你所看到的，新转换的无穷小区域是一个平行四边形。让：

u=((∂f1/∂x)dx,(∂f2/∂x)dx)
v=((∂f1/∂y)dy,(∂f2/∂y)dy)

这些向量构成了我们平行四边形的边。借助于u和v之间的交叉积，可以看出平行四边形的面积是：

area^2 = (u1v2 - u2v1)^2 = ((∂f1/∂x)(∂f2/∂y)dxdy - (∂f2/∂x)(∂f1/∂y)dxdy)^2
area^2 = ((∂f1/∂x)(∂f2/∂y) - (∂f2/∂x)(∂f1/∂y))^2 (dxdy)^2
area = |(∂f1/∂x)(∂f2/∂y) - (∂f2/∂x)(∂f1/∂y)|dxdy (dx and dy are positive)
area = |det([∂f1/∂x, ∂f1/∂y],[∂f2/∂x, ∂f2/∂y])|dxdy

所以，我们要取的矩阵就是Jacobian矩阵的行列式。就像我一开始说的，这个导子可以推广到n的任意维数，如果坐标变换函数F是光滑的，雅可比矩阵是可逆的，具有非零行列式。

对此有一个很好的直观解释，请参见：introduction