用Java和Python计算特征向量的差异

Question

作为当前的任务，我需要计算120*120矩阵的特征值和特征向量。首先，我在Java (Apache库)和Python2.7 (Numpy库)的简单2×2矩阵上测试了这些计算。我有一个与特征向量不匹配的问题，如下所示：

//Java
import org.apache.commons.math3.linear.EigenDecomposition;
import org.apache.commons.math3.linear.MatrixUtils;
import org.apache.commons.math3.linear.RealMatrix;

public class TemporaryTest {

  public static void main(String[] args) {

    double[][] testArray = {{2, -1}, {1, 1}};
    RealMatrix testMatrix = MatrixUtils.createRealMatrix(testArray);
    EigenDecomposition decomposition = new EigenDecomposition (testMatrix);
    System.out.println("eigenvector[0] = " + decomposition.getEigenvector(0));
    System.out.println("eigenvector[1] = " + decomposition.getEigenvector(1));
}

特征向量的输出显示为{real_value + imaginary_value；real_value + imaginary_value}：

//Java output
eigenvector[0] = {-0.8660254038; 0}
eigenvector[1] = {0.5; 1}

Python中的代码相同，但使用Numpy库：

# Python
import numpy as np
from numpy import linalg as LA

w, v = LA.eig(np.array([[2, -1], [1, 1]]))
print (v[:, 0])
print (v[:, 1])

Python中特征向量的输出类似于real+imag real+imag

[ 0.35355339+0.61237244j  0.70710678+0.j        ]
[ 0.35355339-0.61237244j  0.70710678-0.j        ]

我关心的是，为什么这些向量是不同的？我遗漏了什么吗？寻求任何帮助或建议

Answer 1

在Apache 3中，EigenDecomposition接受非对称矩阵，但它使用类RealVector和RealMatrix返回结果。要得到实际的复结果，必须将适当的实结果组合成复共轭对。

在特征向量的情况下，你可以得到：

eigenvector[0] = {-0.8660254038; 0}
eigenvector[1] = {0.5; 1}

这两个向量都与特征值getRealEigenvalue(0) + getImagEigenvalue(0)*i和getRealEigenvalue(1) + getImagEigenvalue(1)*i的复共轭对相关联，但这些向量并不是实际的特征向量。实际的特征向量是复共轭对eigenvector[0] + eigenvector[1]*i和eigenvector[0] - eigenvector[1]*i。

这些向量仍然不匹配numpy返回的结果，但这是因为这两个库没有使用相同的规范化。特征向量不是唯一的，特征向量乘以任何非零标量(包括复标量)仍然是特征向量。Java结果和numpy结果之间唯一的区别是标量乘数。

为了方便起见，我将把浮点值转换成它们的确切值。也就是说，-0.8660254038是-sqrt(3)/2的浮点逼近。Java数学库提供了以下特征向量：

 [-sqrt(3)/2 + (1/2)*i]    and    [-sqrt(3)/2 - (1/2)*i]
 [      0    +     1*i]           [      0    -     1*i]

如果你把第一个特征向量乘以- (sqrt(2)/2)*i，第二个特征向量乘以(sqrt(2)/2)*i，你就会得到由numpy返回的特征向量。

这里有一个ipython会话，其中包含了这个计算。v1和v2是上面所示的向量。

In [20]: v1 = np.array([-np.sqrt(3)/2 + 0.5j, 1j])

In [21]: v1
Out[21]: array([-0.8660254+0.5j,  0.0000000+1.j ])

In [22]: v2 = np.array([-np.sqrt(3)/2 - 0.5j, -1j])

In [23]: v2
Out[23]: array([-0.8660254-0.5j,  0.0000000-1.j ])

将v1乘以-(sqrt(2)/2)*i，得到numpy.linalg.eig返回的第一个特征向量

In [24]: v1*(-np.sqrt(2)/2*1j)
Out[24]: array([ 0.35355339+0.61237244j,  0.70710678-0.j        ])

将v2乘以(sqrt(2)/2)*i，得到numpy.linalg.eig返回的第二个特征向量

In [25]: v2*(np.sqrt(2)/2*1j)
Out[25]: array([ 0.35355339-0.61237244j,  0.70710678+0.j        ])

为了方便起见，这里重复了numpy计算。evecs的列是特征向量。

In [28]: evals, evecs = np.linalg.eig(a)

In [29]: evecs
Out[29]: 
array([[ 0.35355339+0.61237244j,  0.35355339-0.61237244j],
       [ 0.70710678+0.j        ,  0.70710678-0.j        ]])

Answer 2

我不认为你能成功。原因如下：

• 测试套件只测试真实的特征值
• mapMultiplyToSelf不支持复变元(因此不支持复数乘法，包括特征值)。

从2.0开始，这个类只支持对称矩阵，因此只计算真实的realEigenvalues。这意味着getD()返回的D矩阵总是对角的，返回的虚值getImagEigenvalue(int)和getImagEigenvalues()总是空的。(c) EigenDecomposition JavaDoc