利用Taylor级数加速计算

Question

在数学中，泰勒级数是求函数逼近的重要方法，具有较小的多项式度。

我想看看这样的近似是如何有用的，例如，为了加速计算。让我们使用著名的Taylor系列：

log(1+x) = x + 0.5 * x^2 + (error term)

从道义上讲，计算2次多项式的值应该比计算log要快得多。

因此，测试这一点的代码：

import numpy, time

def f(t):
    return t + 0.5 * t ** 2
f = numpy.vectorize(f)  

s = time.time()
for i in range(100):
    x = numpy.random.rand(100000) 
    numpy.log(1 + x)
print time.time() - s          # 0.556999921799 seconds

s = time.time()
for i in range(100):
    x = numpy.random.rand(100000)
    f(x)
print time.time() - s          # arghh! 4.81500005722 seconds

为什么多项式方法比实际日志慢10倍？我期望相反。。

PS:这个问题可能是在SO和math.SE的中间。

Answer 1

使用Python+Numpy，可能会到处优化它，因此不可能真正对log(1+x)和x + 0.5 * x^2进行基准测试。所以我搬到了C++。

结果：

每次有日志操作的时间:19.57ns 每次操作的时间-2阶Taylor展开对数:3.73ns

所以大概是一个x5因子！

#include <iostream>
#include <math.h>
#include <time.h>
#define N (1000*1000*100)
#define NANO (1000*1000*1000)

int main()
{
  float *x = (float*) malloc(N * sizeof(float));
  float y;
  float elapsed1, elapsed2;
  clock_t begin, end;
  int i;

  for (i = 0; i < N; i++) 
    x[i] = (float) (rand() + 1) / (float)(RAND_MAX);

  begin = clock();
  for (i = 0; i < N; i++) 
    y = logf(x[i]);
  end = clock();
  elapsed1 = float(end - begin) / CLOCKS_PER_SEC / N * NANO;

  begin = clock();
  for (i = 0; i < N; i++) 
    y = x[i] + 0.5 * x[i] * x[i];  
  end = clock();
  elapsed2 = float(end - begin) / CLOCKS_PER_SEC / N * NANO;

  std::cout << "Time per operation with log: " << elapsed1 << " ns\n";  
  std::cout << "Time per operation with order-2 Taylor epansion: " << elapsed2 << " ns";

  free(x);

}

Answer 2

使用numpy的向量化操作几乎总是比您自己代码中的任何尝试优化都要快。正如@Divakar所提到的，vectorize实际上只是编写for循环的一种方便的方法，所以您的代码将比numpy的本地代码慢。

用标准python代码替换numpy的优化例程表明，您的方法的速度是相同的。

import math, numpy, time


def f(t):
    return t + 0.5 * t ** 2

x = numpy.random.rand(1000000)

s = time.time()
for num in x:
    math.log(1 + num)
print (time.time() - s  )  

s = time.time()
for num in x:
    f(num)
print (time.time() - s)      

结果：

1.1951053142547607
1.3485901355743408

近似速度稍慢，但指数计算非常昂贵。将t ** 2替换为t*t是一个很好的改进，它的近似性能略优于python的log

1.1818947792053223
0.8402454853057861

编辑:或者，由于这里最重要的一课是优化的，科学库几乎在一周中的任何一天都会比手工编码的解决方案更好，下面是使用numpy的矢量化操作的taylor级数近似，这是迄今为止最快的。注意，唯一的大变化是在逼近函数上没有调用vectorize，因此默认情况下使用numpy的向量化操作。

import numpy, time

def f(t):
    return t + 0.5 * t ** 2

x = numpy.random.rand(1000000)
s = time.time()
numpy.log(1 + x)
print (time.time() - s)

s = time.time()
x = numpy.random.rand(100000)
f(x)
print (time.time() - s  )

结果：

0.07202601432800293
0.0019881725311279297

有了它，向量化的近似比numpy的向量化log快一个数量级。