从N个城市列表中选择城市/城市的方法数目

Question

有一个从1 to N编号的N个城市的列表。

任务是从列表中选择城市/城市的选择方式。

必须至少选出一个城市。由于答案可能很大，请打印答案模块10^9+7

Examples
Input               Output
2 (test cases)
2                   3
1                   1

对于测试用例1:选择城市的唯一方法是1，2，12，因此答案是3。 对于测试用例2:选择城市的唯一方法是1，因此答案是1。

我尝试了以下方法(C语言)：

#include<stdio.h>
#include<math.h>
const long int REM = 1000000000+7;
int main()
{
    int t; scanf("%d",&t); while(t--) {
        long long int n; scanf("%lld",&n);
        long long int res=1;
        for(long long int i=0;i<n;i++) {
            res<<=1;
            res%=(REM);
        }
        printf("%lld\n",res-1);
    }
    return 0;
}

这给了我时间上的限制。请给我一个更好的performance algorithm。

谢谢

Answer 1

答案是所有可能的子集(除空集外)的数目，这些子集是2^n - 1。

由于2^n将非常大，这就是问题要求进行模块化操作的原因，因此您必须执行模指数来计算2^n。

#include<stdio.h>
#include<math.h>

#define MOD 1000000007

// calculate (b^e) % MOD
long long powerMod(long long b, long long e)
{
    long long ret = 1;
    b %= MOD;
    while(e > 0)
    {
        if(e & 1) {
            ret = (ret * b) % MOD;
        }
        b = (b * b) % MOD;
        e >>= 1;
    }
    return ret % MOD;
}


int main()
{
    long long tcase, n;
    scanf("%lld",&tcase);
    while(tcase--)
    {
        scanf("%lld", &n);
        long long result = powerMod(2, n) - 1;
        printf("%lld\n", result);
    }
    return 0;
}

Answer 2

您可以使用二进制指数算法在对数时间内解决每个测试用例。