四元数向量旋转

Question

我的四元数数学有点生疏，我正在尝试找出以下哪种实现更正确……

看看这里，你可以看到微软的四元数转换向量的版本：https://referencesource.microsoft.com/#System.Numerics/System/Numerics/Vector3.cs,347

下面是代码，它显然已经过了优化：

        public static Vector3 Transform(Vector3 value, Quaternion rotation)
        {
            float x2 = rotation.X + rotation.X;
            float y2 = rotation.Y + rotation.Y;
            float z2 = rotation.Z + rotation.Z;
 
            float wx2 = rotation.W * x2;
            float wy2 = rotation.W * y2;
            float wz2 = rotation.W * z2;
            float xx2 = rotation.X * x2;
            float xy2 = rotation.X * y2;
            float xz2 = rotation.X * z2;
            float yy2 = rotation.Y * y2;
            float yz2 = rotation.Y * z2;
            float zz2 = rotation.Z * z2;
 
            return new Vector3(
                value.X * (1.0f - yy2 - zz2) + value.Y * (xy2 - wz2) + value.Z * (xz2 + wy2),
                value.X * (xy2 + wz2) + value.Y * (1.0f - xx2 - zz2) + value.Z * (yz2 - wx2),
                value.X * (xz2 - wy2) + value.Y * (yz2 + wx2) + value.Z * (1.0f - xx2 - yy2));
        }

然而，这给我自己的(不太优化的)实现带来了不同的结果：

        public static Vector3 Transform(this Vector3 value, Quaternion rotation)
        {
            var q = new Quaternion(value.X, value.Y, value.Z, 0.0f);
            var res = rotation.Conjugate() * q * rotation;
            return new Vector3(res.X, res.Y, res.Z);
        }

        public static Quaternion operator *(Quaternion value1, Quaternion value2)
        {
            // 9 muls, 27 adds
            var tmp_00 = (value1.Z - value1.Y) * (value2.Y - value2.Z);
            var tmp_01 = (value1.W + value1.X) * (value2.W + value2.X);
            var tmp_02 = (value1.W - value1.X) * (value2.Y + value2.Z);
            var tmp_03 = (value1.Y + value1.Z) * (value2.W - value2.X);
            var tmp_04 = (value1.Z - value1.X) * (value2.X - value2.Y);
            var tmp_05 = (value1.Z + value1.X) * (value2.X + value2.Y);
            var tmp_06 = (value1.W + value1.Y) * (value2.W - value2.Z);
            var tmp_07 = (value1.W - value1.Y) * (value2.W + value2.Z);
            var tmp_08 = tmp_05 + tmp_06 + tmp_07;
            var tmp_09 = (tmp_04 + tmp_08) * 0.5f;

            return new Quaternion(
                tmp_01 + tmp_09 - tmp_08,
                tmp_02 + tmp_09 - tmp_07,
                tmp_03 + tmp_09 - tmp_06,
                tmp_00 + tmp_09 - tmp_05
                );
        }

由于这些结果并不相同，因此其中一个肯定是错误的，但是是哪一个呢?为什么？

我自己的实现似乎在我试图使用它的情况下工作正常，MS实现似乎被破坏了，但如果它实际上是不正确的，我会感到惊讶，因为我认为它被广泛使用……

谢谢！:)

Answer 1

通过四元数旋转向量有两种不同的约定:左链和右链。例如，

vnew =q*v*共轭(Q) <--这是左链(连续的旋转堆叠在左边)

vnew =共轭(Q)*v*q <--这是右链(连续旋转堆叠在右侧)

左链约定通常用于活动旋转，其中四元数用于旋转坐标框架内的向量。即，v和vnew是在同一坐标框架内协调的两个不同的向量。

右链约定通常用于被动旋转，例如表示坐标系变换的四元数。也就是说，v和vnew实际上是同一个矢量，只是在两个不同的坐标系中进行了坐标处理。

上面显示的MS代码是一个左链约定，但是您的代码是一个右链约定。因此产生了不同的结果。

这两种约定都是有效的，都有其用途，但在从在线来源提取代码时需要非常小心。您需要验证代码使用的约定是什么，以便正确使用它。您需要确保约定与您在特定应用程序中使用四元数的方式相匹配。