如何应用回溯算法？

Question

我正在做一些Python课程的摘录，其中一个我被困在下面：

Given a digit sequence that represents a message where each uppercase letter 
is replaced with a number (A - 1, B - 2, ... , Z - 26) and space - 0. 
Find the number of the initial messages, from which that sequence 
could be obtained.

Example: 12345 - 3 (ABCDE, LCDE, AWDE)
         11 - 2 (AA, K)

朴素的解决方案很简单，而且它是简单的蛮力算法：

import string

def count_init_messages(sequence):
    def get_alpha(seq):
        nonlocal count

        if len(seq) == 0:
            count += 1
            return

        for i in range(1, len(seq) + 1):
            if seq[:i] not in alph_table:
                break
            else:
                get_alpha(seq[i:])

    alphabet = " " + string.ascii_uppercase
    # generate dictionary of possible digit combination
    alph_table = {str(n): alph for n, alph in zip(range(len(alphabet)), alphabet)}
    # counter for the right combination met
    count = 0
    get_alpha(sequence)

    return count

def main():
    sequence = input().rstrip()
    print(count_init_messages2(sequence))

if __name__ == "__main__":
    main()

但是，由于输入序列的长度可能长达100个字符，而且可能会有大量重复，我遇到了一个时间限制。例如，示例输入之一是2222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222 (possible messages number is 308061521170129)。由于我的实现重复次数太多，处理这样的输入需要很长时间。我想使用回溯算法，但我还没有意识到如何实现回忆录的后续结果。

如果有可能告诉我如何完成这项任务，我会很高兴的。

Answer 1

您必须解决的递归关系(其中s是一个数字字符串，而a和b是个位数)如下：

 S("") = 1
 S(a) = 1
 S(s + a + b) = S(s+a) + (S(s) if ab is between 10 and 26)

它可以使用动态规划而不是回溯来计算。如果你做得对，那就是O(n)时间复杂度和O(1)空间复杂度。

def seq(s):
    a1, a2 = 1, 1
    for i in xrange(1, len(s)):
        a1, a2 = a1 + (a2 if 9 < int(s[i-1:i+1]) < 27 else 0), a1
    return a1

print seq('2222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222')

Answer 2

查找表中最大的数字是26，所以您永远不需要查找长度大于2的字符串。相应地修改for循环。这可能足以使野蛮人的力量变得可行。

Answer 3

您可能还识别了308061521170129作为第71斐波那契数。这种关系对应于Fibonacci数，它给出了“某些枚举问题的解”。最常见的问题是，计算1s和2s的组合数，它们之和为给定的n:有Fn+1方法可以做到这一点。

字符串中的每个连续子序列都可以划分为单数码或双位码，表示具有多个可能组合为1s和2s的n；因此，对于字符串中的每个这样的子序列，结果必须乘以(子序列的长度+ 1)斐波那契数(在702 s的情况下，我们只是将1乘以71斐波那契数)。