这个幺半群定律的名字是什么？

Question

在Data.Monoid的文档中，它指出应满足以下法律：

mappend mempty x = x
mappend x mempty = x
mappend x (mappend y z) = mappend (mappend x y) z
mconcat = foldr mappend mempty

我对它们的理解是，前2是同一性，第三是结合性。

但是，第四行的法律是什么呢？再次确认身份，但对于mconcat

Answer 1

从数学上讲，单半群的定义要求存在像mempty和mappend这样的东西，满足前三个定律:左、右恒等式和结合性。

mconcat方法已经被添加到类中，以反映这样一个事实，即列表中的积累通常是对单列所做的事情。第四条法则是mconcat的可执行规范:实际上，这条法律就是给出mconcat的默认实现的代码行。使mconcat成为类的成员意味着，每个Monoid实例都可以自由地为mconcat提供一个更有效的实现，只要它符合默认值。

在我看来，让mconcat以这种方式重新实现是否是一个特别大的胜利，我还不清楚。我倾向于避免使用mconcat，而倾向于使用(令人困惑的名称) fold。

Answer 2

mconcat的目的不是提供更多关于单类的信息；它是一个实现细节。这是一个方便的函数，但可能比其默认定义更有效地实现。当考虑无限列表时，“更有效”可以表示“可能”。

考虑Product幺半群。使用mconcat的默认定义，下列操作永远不会终止

mconcat (map Product [0..])

尽管很明显，包含0的任何整数列表都应该生成0。但是，如果要将函数重新定义为

mconcat = foldr (\acc v -> if acc == Product 0 then Product 0 else mappend acc v) empty

那么包含至少一个零的无限列表的乘积仍然会终止。(当然，无限的非零值列表永远不会终止，但是对于包含“早期”零的大型列表，这个mconcat仍然更有效。)