拟阵的所有极大独立集都具有相同的基数。

Question

如何证明拟阵的所有极大独立集都具有相同的基数。

设拟阵是2-元组(M，J)，其中M是有限集，J是满足下列性质的M的某些子集的族：

1. 如果A是B的子集，B是J的，那么A是J的，
2. 如果A，B是J的，x是A-B的，那么y是B-A的，使得(B {x})- {y}属于J。

J的成员称为独立集。

Answer 1

与之相反的是，假设x-A-<

考虑下面的Venn图

​

​

显然B\ A (唯一的蓝色部分)是非空的，因为B的基数大于A的基数。而且，很明显，A\B(唯一的橙色部分)是非空的，否则A是⊂B，而且，根据定义，A不是最大独立的。

因此，根据交换性质，存在一些x∈A\ B，y∈B\ A，使得B∪{x} {y}∈J也是如此。让我们将这个集合称为C。注意，如果我们要为A和C绘制Venn图(现在蓝色的圆圈是C)：

1. (蓝色圆圈的大小相同)
2. \C_<_(唯一的橙色部分比以前小)

现在我们可以重复关于A和C的论点，等等。但是，请注意，我们不能无限期地重复它，因为A被认为是有限的。因此，在某个时候，我们会遇到这样的矛盾:橙色集合完全包含在蓝色集合中，而我们以前已经看到这是不可能的(这意味着，在定义上，它并不是最大独立的)。

Answer 2

我们要用矛盾来证明这一点。假设拟阵的所有极大独立集都不具有相同的基数。因此，必须有一些集A和集合B，使两者都是极大独立集。在不损失一般性的情况下，我们取j