如何将ln((exp(x)+1)/exp(x))简化为log(1+exp(-x))？

Question

如果我使用simplify()函数，log((exp(x)+1)/exp(x))确实简化为log(1+exp(-x))，然而，当我阅读文档时，简化函数是“可能不必要的慢”，我尝试了其他简化方法，但它们都不起作用，所以我想知道如何在不调用ln((exp(x)+1)/exp(x)) ()的情况下将ln((exp(x)+1)/exp(x))简化成像这个log(1+exp(-x))那样的形式。

Answer 1

您可以更直接地使用sympy.polys.polytools.cancel()，它可以作为.cancel()表达式中的一个方法使用。

>>> from sympy.abc import x
>>> from sympy import *
>>> my_expr = log((exp(x)+1)/exp(x))
>>> my_expr.cancel()
log(1 + exp(-x))

这就是在simplify()中简化表达式的工作。

一个非常幼稚的基准：

>>> import timeit
>>> %timeit my_expr.simplify()
100 loops, best of 3: 7.78 ms per loop
>>> %timeit my_expr.cancel()
1000 loops, best of 3: 972 µs per loop

编辑：这不是一个稳定的解决方案，我建议您看看阿斯迈勒的回答建议使用展开()的地方。

Answer 2

要使用的确切函数取决于所处理的表达式的一般形式。cancel显然起作用，但可能只是偶然的。通常，cancel从分子和分母(如cancel((x**2 - 1)/(x - 1)) -> x + 1 )中取消公共因素。我认为它只是在这里起作用，因为它用exp(-x)来表示表达式。如果它使用exp(x)，就不会简化，因为(x + 1)/x没有任何共同的因素。这可能是您在不同版本中看到来自cancel的不同结果的原因。有关详细信息，请参阅本期。

对于这个表达式，我将使用展开()(或更有针对性的expand_mul)。expand将把分母分布在分子上，即(exp(x) + 1)/exp(x)将成为exp(x)/exp(x) + 1/exp(x)。然后，SymPy自动将exp(x)/exp(x)取消为1，并将1/exp(x)转换为exp(-x) (它们在内部都是以相同的方式表示的)。

In [1]: log((exp(x)+1)/exp(x)).expand()
Out[1]:
   ⎛     -x⎞
log⎝1 + ℯ  ⎠

在教程中有一些简化函数的指南。