基于Gauss求积的双积分数值积分

Question

我已经有一个代码来生成权值和脓肿的高斯-Legendre求积规则，但我有困难使用它的双重积分。

为了生成权值和脓肿，我使用以下表示法w，x=leg( x1，x2，n)，其中w是权，x是脓肿，x1是积分的下限，x2是上限，n是求积点的个数。

我只举一个简单的例子，这样它就能帮助我理解这个想法。假设我有以下积分$\int_0^1 \int_0^1 x^2y^2dxdy$如何实现？

提前谢谢。

Answer 1

双积分是矩形区域上的积分。它们既可以用专门的矩形方案处理，也可以用一维正交的产品方案来处理。你甚至可以在这里混合和匹配两种不同的方案。

乘积方案的点是笛卡尔积的一维点，即对于方案1的每一个x_i和方案2的y_j，(x_i, y_j)是乘积方案中的一个点。权重是两个相应权重的乘积。

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如果您想让您轻松，可以使用四边形 (我的一个项目)：

import numpy
import quadpy

quadpy.quadrilateral.integrate(
    lambda x: numpy.exp(x[0]),
    [[0.0, 0.0], [0.0, 0.0], [0.0, 0.0], [0.0, 0.0]],
    quadpy.quadrilateral.Product(quadpy.line_segment.GaussLegendre(4))
    )