多项式约简:多项式用其他多项式表示？

Question

考虑下面的每一个函数，如f，f2，f3，f4，I。我们如何表示每个f，使得f_i=\sum a_i I_i和每个a_i\geq 0？

示例

我们用M2和Mathematica证明了下面的多项式。 Macaulay2: i1 : R=RRx1，x2，x3，MonomialOrder=>Lex；f=x3-x1*x2；f2=x3*x2-x1；f3=x1-x2；f4=x1-x3+0.8；i5 : I=ideal(x1-0.2，-x1+0.5，x2，-x2+1，x3-1，-x3+1)；G=gb(I)； 我们可以用I的元素来表示f3，即用零项表示。 i11 : I_0==f3 o11 = true 我们可以用f4和I_来表示 i17 : I_5+I_0==f4 o17 = true 我们能用I表示f和f2吗？

Mathematica: f和f-2不能用i表示，而f-1可以用i表示，所以不能用Handelman定理表示。

但

• f-2不是非负的(选择x3=1，x1=2 SO1-0-2=-1<0)
• F是非负的(x3=1 SO1-x1x2>0)和
• f-1不是非阴性(x3=1，x2>0，so -x1x2<0).

通过Handelman定理，所有的计算都是不确定的，因为第三项-x1是负的。更多关于数学方面的这里。

，我们如何用其他多项式来表示多项式，并且每个商项都是正的，就像数学中的PolynomialReduce一样，但是每个商项都是正的？

Answer 1

请注意，在这个答案中，我使用了你们的术语，其中R是多项式环，RR是实数环。我也应该说，几乎从来没有使用环RR，因为在macaulay2上的实数计算并不总是可靠的，总是使用环的理性QQ或一个积极的特征字段，如QQ/(101)。

你的f多项式和f2多项式不是线性的，所以你甚至不能把它们写成I_0,...,I_5的线性组合(即I的生成器)。此外，理想的I，正如你所定义的，它包含一个标量，所以这就是数学家所说的单位理想。它的意思是I=R，即整个多项式环。所以你可以把f和f2写成I_0,...,I_5的组合，而不是线性的。这意味着具有f = \sum g_i I_i多项式的g_i多项式中至少有一个不是一个数字。

备注。对于任意环R，元素通常称为标量，但当R是多项式环时，假设是R=RR[x_1,...x_n]，则常多项式(也就是实数，即RR的元素)通常称为标量。这只是一个常见的，当然也是令人困惑的术语。

以下是一个例子，

i2 : R=QQ[x_1,x_2]

o2 = R

o2 : PolynomialRing

i3 : I=ideal(x_1-1,x_2,x_1+1)

o3 = ideal (x  - 1, x , x  + 1)
             1       2   1

o3 : Ideal of R

i4 : I == R

o4 = true

i5 : J = ideal(x_1,x_2)

o5 = ideal (x , x )
             1   2

o5 : Ideal of R

i6 : J == R

o6 = false

您可以看到理想的I有x_1-1,x_2,x_1+1，所以元素(x_1+1)-(x_1-1) = 2也属于I，所以I有一个常数多项式，它是一个单位元素(环中的一个单位元素是一个具有逆的元素)，这意味着I=R。为了证明这次访问，https://math.stackexchange.com/questions/552173/if-an-ideal-contains-the-unit-then-it-is-the-whole-ring

另一方面，J不存在任何常数多项式，因此J不是整个环R。