如何比蛮力更快地解决约束满意度？

Question

我有一个CSV，它为每一行提供三个不同的x值的y值。当读到熊猫DataFrame时，它看起来是这样的：

     5     10    20
0 -13.6 -10.7 -10.3
1 -14.1 -11.2 -10.8
2 -12.3  -9.4  -9.0

也就是说，对于第0行，5的值为-13.6，在10为-10.7，在20为-10.3。这些值是形式中的算法的结果：

def calc(x, r, b, c, d):
    if x < 10:
        y = (x * r + b) / x
    elif x >= 10 and x < 20:
        y = ((x * r) + (b - c)) / x
    else:
        y = ((x * r) + (b - d)) / x
    return y

我希望找到每一行的r、b、c和d的值。我对每一种价值观都很了解。例如，对于每一行:r在np.arange(-.05，-.11，-.01)中，b在np.arange中(0，-20.05，-.05)，c和d在np.arange中(0，85，5)。我还知道d是<= c。

目前，我正在用蛮力解决这个问题。对于每一行，我遍历r、b、c和d的每个组合，并测试三个x值处的值是否等于DataFrame中的已知值。这起作用，给了我几个组合，每一行基本上是相同的，除了四舍五入的差异。

问题是，当我需要对2,000+行运行它时，这种方法需要很长时间。我的问题是:有比迭代和测试每个组合更快的方法吗？我的理解是，这是一个约束满意问题，但在那之后，我不知道该缩小什么范围；有太多类型的约束满意度问题(似乎)，我仍然迷失了方向(我甚至不确定这是一个这样的问题！)如果能帮助我找到正确的方向，我将不胜感激。

Answer 1

我希望我正确地理解了这项任务。

如果你知道参数的分辨率/离散化，它看起来就像一个离散优化问题(一般是：hard)，可以用CP-方法来解决。

但是，如果允许这些值是连续的(并重新制定公式)，则如下所示：

• (1)线性规划:如果检查可行的值(需要一个有效的解决方案)
• (2)线性规划:如果优化参数以最小化绝对误差之和(=误差)
• (3)二次规划:如果优化参数使平方差和最小(=误差)/等价于最小欧氏范数

这三个版本都可以有效地解决！

这里是一个非一般(可以很容易推广)的实现，(3)使用cvxpy来表示问题，用埃科斯来解决QP。这两个工具都是开源的。

代码

import numpy as np
import time
from cvxpy import *
from random import uniform

""" GENERATE TEST DATA """
def sample_params():
    while True:
        r = uniform(-0.11, -0.05)
        b = uniform(-20.05, 0)
        c = uniform(0, 85)
        d = uniform(0, 85)
        if d <= c:
            return r, b, c, d

def calc(x, r, b, c, d):
    if x < 10:
        y = (x * r + b) / x
    elif x >= 10 and x < 20:
        y = ((x * r) + (b - c)) / x
    else:
        y = ((x * r) + (b - d)) / x
    return y

N = 2000
sampled_params = [sample_params() for i in range(N)]
data_5 = np.array([calc(5, *sampled_params[i]) for i in range(N)])
data_10 = np.array([calc(10, *sampled_params[i]) for i in range(N)])
data_20 = np.array([calc(20, *sampled_params[i]) for i in range(N)])
data = np.empty((N, 3))
for i in range(N):
    data[i, :] = [data_5[i], data_10[i], data_20[i]]

""" SOLVER """
def solve(row):
    """ vars """
    R = Variable(1)
    B = Variable(1)
    C = Variable(1)
    D = Variable(1)
    E = Variable(3)

    """ constraints """
    constraints = []
    # bounds
    constraints.append(R >= -.11)
    constraints.append(R <= -.05)
    constraints.append(B >= -20.05)
    constraints.append(B <= 0.0)
    constraints.append(C >= 0.0)
    constraints.append(C <= 85.0)
    constraints.append(D >= 0.0)
    constraints.append(D <= 85.0)
    constraints.append(D <= C)
    # formula of model
    constraints.append((1.0 / 5.0) * B + R == row[0] + E[0])  # alternate function form: b/x+r
    constraints.append((1.0 / 10.0)  * B - (1.0 / 10.0) * C == row[1] + E[1])  # alternate function form: b/x-c/x+r
    constraints.append((1.0 / 20.0)  * B - (1.0 / 20.0) * D == row[2] + E[2])  # alternate function form: b/x-d/x+r

    """ Objective """
    objective = Minimize(norm(E, 2))

    """ Solve """
    problem = Problem(objective, constraints)
    problem.solve(solver=ECOS, verbose=False)
    return R.value, B.value, C.value, D.value, E.value

start = time.time()
for i in range(N):
    r, b, c, d, e = solve(data[i])
end = time.time()

print('seconds taken: ', end-start)
print('seconds per row: ', (end-start) / N)

输出

('seconds taken: ', 20.620506048202515)
('seconds per row: ', 0.010310253024101258)