ODE和一致术语的数值方法

Question

大家好！

我对“ODE的数值方法”这一主题很陌生。我读了一些基本文献，但由于大多数的概念和方法对我来说都是新的，我想问你，如果我正确理解了一切，你是否能给我反馈(如果有错误的陈述/定义，如果你能改正，那就太好了)。

1. 求解微分方程有两种数值方法：

( a)基于Taylor级数逼近: Euler，Runge Kutta等，目标:与Taylor级数具有相似的精度，但不计算导数。工作是开发出来的，你只在某些点评估函数，而不计算导数。

( b)基于插值多项式:多步方法，搭配方法:利用过去的信息，没有中间计算(如Runge)。总体思路:用这个过去的数据拟合一个多项式+从tn到tn+1的外推

稳定性:此图表显示了特定测试函数的稳定性：

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不幸的是，当涉及到稳定性时，它取决于我们想要解决的ODE。因此，没有一个通用的方法可以说:这个方法对这个ODE是否稳定。因此，我们正在创建一个所谓的“模型问题”(见图)，在这里我们可以比较不同的方法。-对吗？

显式Runge方法由于其绝对稳定性区域小，一般不适合求解刚性系统。有什么特别的原因吗？有人能用简单的话来解释吗？

刚性系统有不同的时间常数(快，慢)。

隐式方法:它比显式方法具有更好的稳定性。显式方法不可能是A-稳定的(左平面上的一切都是稳定的).一个稳定的方法没有限制的步长，他们是非常快！谁能用简单的话解释一下为什么(有些)隐式方法是A-稳定的

隐式方法计算量更大，但您可能需要更少的步骤。

关于“对步长没有限制”：这是否意味着“即使数值解完全错误(巨大的步长)，系统也是稳定的？”

为什么在刚性系统(和稳定性方面)，多步方法比单步方法更有优势？

Answer 1

关于Runge方法的稳定性。

您可以编写一个显式Runge方法如下：

设d/dt(x) =Ax。然后Psi(τ)= P(τ*A )x，其中P是多项式，Psi是相流和tau>0。如果你应用这个定理：

“多项式的稳定性是紧的。”

你知道为什么显式Runge方法有较小的稳定性区域。如果z收敛到+/-无穷大，则P(z)明显收敛到+/-无穷大。

隐式Runge-Kutta方法则可以写成Psi (τ)=R(τ*A)x，其中R是两个多项式的商Q= P/Q，Psi是相流和tau>0。这就是为什么他们的稳定面积可以更大。