scala中的lambda微积分

Question

好的，所以我正在尝试实现lambda微积分基础。开始吧。

我的号码：

def zero[Z](s: Z => Z)(z: Z): Z = z
def one[Z](s: Z => Z)(z: Z): Z = s(z)
def two[Z](s: Z => Z)(z: Z): Z = s(s(z))

它们的部分(实际上，非)应用版本是这样的：

def z[Z]: (Z => Z) => (Z => Z) = zero _

在继续之前，我定义了一些类型：

type FZ[Z] = Z => Z
type FFZ[Z] = FZ[Z] => FZ[Z]

好吧，succ函数是这样的(应用程序顺序应该是这样的！我采用了这里的定义)：

def succ[Z](w: FFZ[Z])(y: FZ[Z])(x: Z): Z = y((w(y))(x))

它的未应用版本就像：

def s[Z]: FFFZ[Z] = successor _

请原谅，这是缺少的类型：

type FFFZ[Z] = FFZ[Z] => FFZ[Z]
type FFFFZ[Z] = FFFZ[Z] => FFFZ[Z]

但是我被困在add函数上了。如果符合类型和定义(也采用这里 )，则如下所示

def add[Z](a: FFFFZ[Z])(b: FFZ[Z]): FFZ[Z] =
  (a(s))(b)

但是我希望a是一个普通的FFZ[Z]类型。

那么-我该怎么定义加法？

Answer 1

在Scala中实现教会数字是完全可能的。以下是这样一个相当直截了当的实现：

object ChurchNumerals {

  type Succ[Z] = Z => Z
  type ChNum[Z] = Succ[Z] => Z => Z

  def zero[Z]: ChNum[Z] =
    (_: Succ[Z]) => (z: Z) => z

  def succ[Z] (num: ChNum[Z]): ChNum[Z] =
    (s: Succ[Z]) => (z: Z) => s( num(s)(z) )

  // a couple of church constants
  def one[Z] : ChNum[Z] = succ(zero)
  def two[Z] : ChNum[Z] = succ(one)

  // the addition function
  def add[Z] (a: ChNum[Z]) (b: ChNum[Z]) =
    (s: Succ[Z]) => (z: Z) => a(s)( b(s)(z) )

  def four[Z] : ChNum[Z] = add(two)(two)

  // test
  def church_to_int (num: ChNum[Int]): Int =
    num((x: Int) => x + 1)(0)

  def fourInt: Int = church_to_int(four)

  def main(args: Array[String]): Unit = {
    println(s"2 + 2 = ${fourInt}")
  }
}

汇编和打印：

$ scala church-numerals.scala
2 + 2 = 4

如果我要从头开始解释教会数字，我会增加更多的评论。但考虑到上下文，我不确定在这种情况下该评论什么。请随便问，我会补充更多的解释。

Answer 2

我有编码数字，布尔和对：https://github.com/pedrofurla/church/blob/master/src/main/scala/Church.scala跟随丘奇的风格。

我注意到的一件事是，使用curried函数语法比使用多个参数列表容易得多。一些有趣的片段

type NUM[A] = (A => A) => A => A
def succ  [A]: NUM[A]  =>  NUM[A] = m => n => x => n(m(n)(x))
def zero  [A]: NUM[A] = f => x => x
def one   [A]: NUM[A] = f => x => f(x)
def two   [A]: NUM[A] = f => x => f(f(x))
def three [A]: NUM[A] = f => x => f(f(f(x)))
def plus  [A]: (NUM[A]) => (NUM[A]) => NUM[A] = m => n => f => x => m(f)(n(f)(x))

现在打印出来(非常类似于Antov Trunov的解决方案)：

def nvalues[A] = List(zero[A], one[A], two[A], three[A])

val inc: Int => Int  = _ + 1 
def num: (NUM[Int]) => Int = n => n(inc)(0)
def numStr: (NUM[String]) => String = n => n("f (" + _ + ") ")("z")

一些产出：

scala> println(nvalues map num)
List(0, 1, 2, 3)

scala> println(nvalues map numStr) // Like this better :)
List(z, f (z) , f (f (z) ) , f (f (f (z) ) ) )