8益智可解规则是否适用于任何目标状态？

Question

我已经了解到，8字谜的可解性可以通过遵循一定的规则来检查。https://www.cs.bham.ac.uk/~mdr/teaching/modules04/java2/TilesSolvability.html

http://ldc.usb.ve/~gpalma/ci2693sd08/puzzleFactible.txt。

我的问题是，这种可解性检查是否只适用于目标状态(解决方案)是否处于正确的升序？示例：

   Start state
    3   1   5 
    6   0   4 
    2   7   8

    Goal state1        Goal State2
    3   1   5           1   2   3
    6   4   8           4   5   6
    2   0   7           7   8   0

现在我的观察是，如果目标状态是目标State2，那么可解性检查就可以了。但是，如果目标状态是目标state1，则不会工作。

Answer 1

倒排计数可以是奇数，也可以是偶数，简而言之，我们可以称状态为偶数或奇数。这被称为一个州的平价。如果开始状态是偶数，那么它是可解的。在引用的文章中，这确实意味着目标必须是具有增量顺序的目标。

但是，由于实际上有两类国家(基于奇偶原则)，而你只能通过采取法律行动--即，当你采取合法行动时，平等是不变的--将这一原则推广到任何目标状态：

如果起始状态的奇偶性与目标状态的奇偶校验相同，那么它是可达的(可解的)。

在给出的示例状态中，起始状态是奇数，第一个目标状态也是奇数。因此，他们属于同一类，其中一个可以从另一个。

下面是JavaScript中奇偶校验的一个简单实现。它也适用于均匀大小的网格：

​

function parity(grid) {
    var inversions = 0;
    // take copy and remove blank (0) from it.
    var arr = grid.slice(0);
    arr.splice(arr.indexOf(0), 1);
    // perform sort and count swaps
    for (var i = 1; i < arr.length; i++) {
        for (var j = i - 1; j >= 0; j--) {
            if (arr[j] <= arr[j+1]) break;
            [arr[j+1], arr[j]] = [arr[j], arr[j+1]];
            inversions++;
        };
    }
    if (grid.length % 2 == 0) { // even grid width
        var size = Math.round(Math.sqrt(grid.length));
        var blankRow = Math.floor((grid.length - 1 - grid.indexOf(0)) / size);
        inversions += blankRow;
    }
    return inversions & 1; // only odd/even is needed as info
}

document.querySelector('button').onclick = function() {
    var res = '';
    var txt = document.querySelector('textarea');
    var grid = txt.value.trim().split(/[,\s]+/g).map(Number);
    var size = Math.round(Math.sqrt(grid.length));
    var res = size*size !== grid.length
            ? 'input is not a complete square matrix of data'
            : 'parity = ' + parity(grid);
    document.querySelector('pre').textContent = res;
}

Enter grid. 0 represents empty slot.<br>
<textarea rows=4>3   1   5 
6   0   4 
2   7   8
</textarea><button>Verify</button><br>
<pre></pre>

​

Answer 2

是的，确实有用。有一个非常微不足道的方式来展示这一点。只需将解决方案中的值映射到我们假设为您的GoalState2的值，对此检查是有效的：

state we want to reach   Goal State2
3   1   5                1   2   3
6   4   8                4   5   6
2   0   7                7   8   0

map:
3 -> 1
1 -> 2
3 -> 5
...

现在，将此表应用于开始状态，将每个值替换为映射到的值，以用于GoalState2的方式解决整个问题，并对最终状态进行映射。如果有你想要的结果，你就在这里。可解性规则可以在不改变一点的情况下重用，只需使用简单的重映射。

说明了这是如何工作的：

state we want to reach   Goal State2
3   1   5                1   2   3
6   4   8                4   5   6
2   0   7                7   8   0

build map

map:
3 -> 1
1 -> 2
3 -> 5
...

Start state
3   1   5   apply map  1  2  3  solve for  1  2  3  apply        3  1  5
6   0   4   -------->  4  8  5  -------->  4  5  6  --------->   6  4  8
2   7   8              7  0  6   GoalS2    7  8  0  reverse map  2  0  7

这是最琐碎的解决方法。只要把数字当作没有任何意义的标签，你就已经做到了一半。

要获得更复杂的答案，让您更好地理解规则本身，请查看@trincots的答案。