生成有限差分的矩阵

Question

我正在为一个二维PDE问题实现一个有限差分格式。我希望避免使用循环来产生有限的差异。例如，要生成u(x，y)_xx的二阶中心差，我可以将u(x，y)乘以如下：

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​

u_xy = (u_{i+1，j+1} + u_{i-1，j-1} - u_{i-1，j+1} - u_{i+1，j-1})/(4 4dxdy)是否有良好的矩阵表示？这是一个很难编码的问题，因为它是在2D -我想乘一些矩阵的u(x，y)，以避免循环。非常感谢！

Answer 1

如果你的点存储在一个N-by-N矩阵中，那么，就像你说的，左乘有限差分矩阵给出了关于u_{xx}的二阶导数的近似。右乘有限差分矩阵的转置等价于近似u_{yy}.通过左乘的u_{xy}和的右乘，可以得到混合导数的逼近，例如中心差分矩阵。

delta_2x =

     0     1     0     0     0
    -1     0     1     0     0
     0    -1     0     1     0
     0     0    -1     0     1
     0     0     0    -1     0

(然后除以因子4*Dx*Dy)，所以类似于

U_xy = 1/(4*Dx*Dy) * delta_2x * U_matrix * delta_2x';

如果将矩阵转换为N^2向量

U_vec = U_matrix(:);

然后，这些操作符可以用Kronecker积表示，在MATLAB中实现为kron：

A*X*B = kron(B',A)*X(:);

所以对于有限差分矩阵

U_xy_vec = 1/(4*Dx*Dy)*(kron(delta_2x,delta_2x)*U_vec);

如果您有一个N-by-M矩阵U_mat，则左矩阵乘法等价于kron(eye(M),delta_2x_N)，右乘法等价于kron(delta_2y_M,eye(N))，其中delta_2y_M (delta_2x_N)是M-by-M (N-by-N)中心差分矩阵，因此操作是

U_xy_vec = 1/(4*Dx*Dy) * kron(delta_2y_M,delta_2y_N)*U_vec;

下面是一个MATLAB代码示例：

N = 20;
M = 30;
Dx = 1/N;
Dy = 1/M;

[Y,X] = meshgrid((1:(M))./(M+1),(1:(N))/(N+1));

% Example solution and mixed derivative (chosen for 0 BCs)
U_mat = sin(2*pi*X).*(sin(2*pi*Y.^2));
U_xy = 8*pi^2*Y.*cos(2*pi*X).*cos(2*pi*Y.^2);

% Centred finite difference matrices
delta_x_N = 1/(2*Dx)*(diag(ones(N-1,1),1) - diag(ones(N-1,1),-1));
delta_y_M = 1/(2*Dy)*(diag(ones(M-1,1),1) - diag(ones(M-1,1),-1));

% Cast U as a vector
U_vec = U_mat(:);

% Mixed derivative operator
A = kron(delta_y_M,delta_x_N);

U_xy_num = A*U_vec;
U_xy_matrix = reshape(U_xy_num,N,M);

subplot(1,2,1)
contourf(X,Y,U_xy_matrix)
colorbar
title 'Numeric U_{xy}'
subplot(1,2,2)
contourf(X,Y,U_xy)
colorbar
title 'Analytic U_{xy}'

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Answer 2

很明显，您可以自己创建矩阵，但是在Matlab中有tridiag用于此目的。

例如

>> full(gallery('tridiag',5,-1,2,-1))

安=

 2    -1     0     0     0
-1     2    -1     0     0
 0    -1     2    -1     0
 0     0    -1     2    -1
 0     0     0    -1     2

Answer 3

利用MATLAB中的稀疏函数生成有限差分逼近矩阵是一个很好的选择。它节省了很多(实际上非常多)的记忆.