最小二乘曲面拟合的第一性原理

Question

我想让这“手工”，而不是使用表面拟合工具，因为根据我的数据，表面拟合可能有所不同。所以，我首先在excel表格中读取数据，然后初始化一些系数，计算一个三维曲面(f(x，y))，然后计算最小二乘和，这是我想要最小化的。每次运行脚本时，它都会告诉我，即使当我更改初始值时，我也处于本地最小值。改变容忍度也不会影响结果。

这是代码：

% flow function in a separate .m file (approximation, it’s a negative paraboloid, maybe if required, this function may vary):

function Q = flow(P1,P2,a,b,c,d,e,f)
Q1 = a-b.*P1-c.*P1.^2;
Q2 = d-e.*P2-f.*P2.^2;
Q = Q1 + Q2;

% Variable read, I use a xlsread instead
p1a = [-5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5];
p2a = [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9];
qa = [10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1];

p1b = [-6, -6, -6, -6, -6, -6, -6, -6, -6, -6];
p2b = [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9];
qb = [12, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3];

% Variable initialization
coef = [50, 1, 1, 10, 1, 1];

% Function calculation
q1a = flow(p1a,p2a,coef(1),coef(2),coef(3),coef(4),coef(5),coef(6)); 
q1b = flow(p1b,p2b,coef(1),coef(2),coef(3),coef(4),coef(5),coef(6));

% Least squares
LQa = (qa-q1a).^2;
LQb = (qb-q1b).^2;
Sa = sum(LQa);
Sb = sum(LQb);
St = Sa+Sb;

% Optimization (minimize the least squares sum)
func = @(coef)(St);
init = coef;
opt = optimoptions('fminunc', 'Algorithm', 'quasi-newton', 'Display', 'iter','TolX', 1e-35, 'TolFun', 1e-30);
[coefmin, Stmin] = fminunc(func, init, opt);

如果您运行此操作，您应该得到15546的Stmin结果，但是如果您更改了系数，您将得到另一个结果，它也将被认为是一个局部最小值。

我做错了什么？

Answer 1

问题是您的func只是一个常数。它只是返回一个预先计算过的值，St，它是常数，不管您传递给func的是什么输入。尝试用各种不同的输入调用func来测试这一点。

你的目标函数需要包含把你带到St的所有计算。因此，我建议您将func替换为保存在m文件中的函数，如下所示：

function St = objectiveFunction(coef, p1a, p2a, p1b, p2b, qa, qb, q1a, q1b)

    % Function calculation
    q1a = flow(p1a,p2a,coef(1),coef(2),coef(3),coef(4),coef(5),coef(6)); 
    q1b = flow(p1b,p2b,coef(1),coef(2),coef(3),coef(4),coef(5),coef(6));

    % Least squares
    LQa = (qa-q1a).^2;
    LQb = (qb-q1b).^2;
    Sa = sum(LQa);
    Sb = sum(LQb);
    St = Sa+Sb;

end

然后在脚本中使用这样的匿名函数调用objectiveFunction：

[coefmin, Stmin] = fminunc(@(coef)(objectiveFunction(coef, p1a, p2a, p1b, p2b, qa, qb, q1a, q1b)), init, opt);

其思想是创建一个只接受单个参数coef的匿名函数，这是fminunc将调用并传递回目标函数的变量。您的objectiveFunction需要的其他参数(即p1a, p2a, p1b,...)现在被认为是由匿名函数预先计算的，因此也是由fminunc计算出来的。

剩下的代码可以保持不变。