SVD Matlab实现

Question

我试图编写matlab代码，将矩阵分解成它的SVD形式。

“理论”：

为了得到U，我找到了AA‘的特征向量，得到了V，找到了A’的特征向量。最后，Sigma是一个与A相同维数的矩阵，其特征值在有序序列的对角线上。

然而，它似乎不能正常工作。

A=[2 4 1 3; 0 0 2 1];

% Get U, V
[aatVecs, aatVals] = eig(A*A');
[~, aatPermutation] = sort(sum(aatVals), 'descend');
U = aatVecs(:, aatPermutation);

[ataVecs, ataVals] = eig(A'*A);
[~, ataPermutation] = sort(sum(ataVals), 'descend');
V = ataVecs(:, ataPermutation);

% Get Sigma
singularValues = sum(aatVals(:, aatPermutation)).^0.5;
sigma=zeros(size(A));
for i=1:nnz(singularValues)
    sigma(i, i) = singularValues(i);
end

A
U*sigma*V'

U* sigma * V‘似乎以-1的因子返回：

ans =

-2.0000   -4.0000   -1.0000   -3.0000
0.0000    0.0000   -2.0000   -1.0000

导致它的代码或“理论”中的错误是什么？

Answer 1

特征向量并不是唯一的(因为根据定义，任何带有Av==λv和μ~=0的w都是特征向量)。碰巧，eig返回的特征向量在奇异值分解中并不匹配(即使它们是标准化的)。

然而，一旦我们有了U，我们就可以构造V，在您的算法中，我们会发现它是A'*A的特征向量。一旦找到了V作为排序的特征向量，就必须找到U来匹配。由于V是正交的，A*V == U*sigma。所以我们可以

U = [A*V(:,1)./singularValues(1) A*V(:,2)./singularValues(2)];

实际上，A == U*sigma*V'，特别是这里找到的U，正是您的算法中发现的U的负数。