Matlab:如何将矩阵转换为Toeplitz矩阵

Question

考虑离散动力系统，其中x[0]=rand()表示系统的初始条件。

我通过以下步骤生成了一个m×n矩阵-生成具有不同初始条件的m向量，每个初始条件都有维数N (N表示样本或元素的数量)。这个矩阵叫做R，使用R，如何创建一个Toeplitz矩阵，T？从数学上讲，

 R =               [ x_0[0], ....,x_0[n-1];
                    ...,        ,.....;
                    x_m[0],.....,x_m[n-1]]

toeplitz矩阵T =

                        x[n-1], x[n-2],....,x[0];
                        x[0], x[n-1],....,x[1];
                          :    :           :
                         x[m-2],x[m-3]....,x[m-1]

我试着使用toeplitz(R)，但是维度发生了变化。从数学上看，尺寸不应改变。

Answer 1

根据本文给出的(Toeplitz结构的混沌感知矩阵，用于压缩感知，由Yu等人.)其中涉及两个混沌传感矩阵。让我们分别探索它们。

1. 混沌传感矩阵(A节)

我们清楚地指出，要创建这样的矩阵，您必须构建具有m独立信号(序列)的m不同的首字母条件(在范围内)；1[)，然后将这些信号串联到每行(即一信号=一行)。这些信号中的每一个必须有长度N。这实际上是你的矩阵R，它被正确地计算出来。虽然我想建议进行代码改进:而不是构建一个列，然后转到矩阵中，您可以直接构建每一行这样的矩阵：

R=zeros(m,N);
R(:,1)=rand(m,1); %build the first column with m initial conditions

请注意:通过运行randn()，您选择了高斯(正态分布)分布的值，这些值可能不在0；1的范围内(正如本文所述(方程9下面)。相反，通过使用rand()，您可以在这样的范围内获得均匀分布的值。

之后，您可以根据for-循环分别构建每一行：

for i=1:m
    for j=2:N %skip first column
        R(i,j)=4*R(i,j-1)*(1-R(i,j-1));
        R(i,j)=R(i,j)-0.5;
    end
end

1. Toeplitz混沌传感矩阵(B节)

在B节的开头很清楚地指出，要构建Toeplitz矩阵，您应该考虑一个具有给定、单个初始条件的单序列x。因此，让我们构建这样的序列：

x=rand();
for j=2:N %skip first element
   x(j)=4*x(j-1)*(1-x(j-1));  
   x(j)=x(j)-0.5;
end

现在，要构建矩阵，您可以考虑：

• 第一行看起来怎么样？它看起来像序列本身，但是翻转了(也就是说，它不是从n-1转到n-1，而是从n-1转到n-1)。
• 第一列是什么样子？它是从x连接到m-2范围内的元素的最后一项。

然后构建第一行(r)和第一列(c)：

r=fliplr(x);
c=[x(end) x(1:m-1)];

请注意:在Matlab中，指数从1开始，而不是从0开始(因此，我们不是从1到m-2，而是从1到m-1)。end也意味着来自给定数组的最后一个元素。

现在，通过查看toeplitz()函数的帮助，可以清楚地说明，您可以通过指定第一行和第一列来构建一个非平方Toeplitz矩阵。因此，最后，您可以构建如下矩阵：

T=toeplitz(c,r);

正如本文所报道的那样，这样的矩阵确实具有维数m*N。

尽管作者称它们为\Phi，但它们实际上是两个独立的矩阵。

它们不取类Beta矩阵的Toeplitz矩阵(Toeplitz矩阵不是某种函数或算子)，也不把Beta样矩阵转换成Toeplitz矩阵。

首先是Beta类矩阵(即混沌传感矩阵)，然后是Toeplitz结构的混沌感知矩阵:这种结构对于Toeplitz矩阵来说是典型的，也就是一个对角常数结构(沿对角的所有元素都有相同的值)。