浮点数的Matlab表示

Question

对于realmax(‘单’)的Matlab结果是ans = 3.4028e+38。我试图理解为什么这个数字出现在计算机的二进制表示中，但我有点困惑。

据我所知，realmax(' single ')是单个圆环切割中表示的最高浮点数，也就是32位。这意味着二进制表示由符号1位、尾数23位和指数8位组成。3.4028e+38是最高单精度浮点数的十进制表示，但我不知道这个数字是如何推导出来的。

现在，输入2^128给出了与3.4028e+38相同的答案，但我不明白其中的相关性。

能否帮助我理解为什么从二进制表示的角度来看，3.4028e+38是32位格式的浮点数的最大返回结果？谢谢。

Answer 1

作为计算机中数字的单精度二进制浮点表示的先驱，我首先讨论小数的所谓“科学表示法”。

使用基数10的数字系统，每个正十进制数在集合{1..9}中有第一个非零前导数字。(所有其他数字都在集合{0..9}中。)这个数字的小数点可能总是移到这个前导数字的右边，方法是将数字基数10的10^n乘以适当的幂，例如0.012345 = 1.2345*10^n，其中n= -2。这意味着每个非零数x的十进制表示形式都可以采用以下形式。

    x = (+/-)(i.jklm...)*10^n ; where i is in the set {1,2,3,4,5,6,7,8,9}.

前导十进制因子(i.jklm.)称为x的“尾数”，是区间[1，10 ]中的一个数，即大于或等于1且小于10。尾数的最大值为9.9999…所以数字x的实际“大小”是指数因子10^n中的整数，如果x很大，n >> 0，如果x是很小的n << 0。

现在，我们想重新讨论这些想法，使用与计算机存储数字相关的基2数字系统。计算机在内部使用基数2而不是更熟悉的基数10表示一个数字。一个数字的“二进制”表示中使用的所有数字都属于集合{0,1}。用同样的思想用二进制表示来表示x，就像我们在它的十进制表示中一样，我们看到每个正数x都有这样的形式。

    x = (+/-)(i.jklm...)*2^n ; where i = 1, 

其余数字属于{0,1}。

这里主要的二元因子(尾数)i.jklm.位于区间[1，2]中，而不是与十进制中尾数相关联的区间[1，10]。这里尾数由二进制数1.1111.有界，它总是小于2，因为在实际中永远不会有无穷多的数字。和以前一样，数字x的实际“大小”存储在整数指数因子2^n中。当x非常大时，n >> 0和x是非常小的n << 0。指数n用二进制十进制表示。因此，x的二进制浮点表示中的每一个数字要么是0，要么是1。每个数字都是计算机内存中用于存储x的“位”之一。

X的(单精度)二进制表示的标准约定是通过在计算机内存中精确存储32位(0或1)来完成的。第一位用来表示数字的算术“符号”。这将在尾数(i.jklm.)之间分配31位。和指数因子2^n。(回忆I=1在i.jklmn.因此，它的表示不需要31位。)在这一点上，一个重要的“权衡”发挥了作用：

用于尾数的比特数越多(i.jkl.)在x中，用指数因子2^n表示指数n的次数越少。按照惯例，有23位用于x的尾数。(不难看出，在十进制系统中，它允许大约7位数字的精度，这对于大多数科学工作来说是足够的。)由于第一位专用于存储x的符号，所以剩下8位可以用来表示因子2^n中的n，因为我们希望允许非常大的x和非常小的x，所以决定以这种形式存储2^n。

    2^n = 2^(m-127) ; n = m - 127,

其中指数m是存储的，而不是n。利用8位，这意味着m属于一组二进制整数{0000000001，....11111111}。由于人类在十进制中更容易思考，这意味着m属于值{0,1，....255}的集合。减去-127，这意味着2^n属于数字集{-127，-126，...0,1,2...128}，即

    -127 <= n <= 128. 

我们的二进制浮点表示法的指数因子2^n最大可以被看作是2^n = 2^128，或者在十进制系统中查看(使用任何计算器计算2^128)。

                     2^n <= 3.4028...*10^38.

概括地说，可以在计算机中以IEEE格式存储在单精度浮点中的最大数字x是表单中的数字。

                    x = y*(3.4028...*10^38).

这里尾数y位于(半闭，半开)区间[1，2].

为了简单起见，Matlab将“最大”浮点数的“大小”报告为指数因子2^128 = 3.4028*10^38的最大大小。从这次讨论中我们可以看到，使用32位二进制浮点表示可以存储的最大浮点数实际上是max_x = 6.8056*10^38的两倍。