SOP中的布尔表达式

Question

我对布尔表达式很陌生。

我被赋予了使用K映射简化F(w,x,y,z) = xy’ + x’z’ + wxz + wx’y的任务。

我做过了，结果是wx’+w’y’+xyz。

现在我必须“用标准SOP表单来编写它，您需要提供获得标准SOP的步骤”。

我不知道该怎么做。我以为k图后的结果是sop。

Answer 1

是的，你已经有SOP格式了。但第二个问题是关于标准(又称规范) SOP形式。这比使用K-映射要简单得多(但它通常很长)，它只是腹地之和。

Answer 2

我认为你的解决方案没有涵盖所有的问题。这些卡诺映射显示了原始表达式、简化版本(最小SOP)和规范SOP，其中每个产品都包含所有文字(所有给定变量或它们的否定)。

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最初的表达式是

F(w,x,y,z) = x·¬y + ¬x·¬z + w·x·z + w·¬x·y

-在相应的(第一幅)K-图中有两对四圈和两对。

使用K-map简化了原始表达式(见第二个)：

F(w,x,y,z) = x·¬y + ¬x·¬z + w·y·z

与您的不同，但您可以使用wolframalpha online工具检查它是否是简化的原始表达式。

它也是最小DNF，但不是一个中间值之和(其中输出等于1)，因为和的每个乘积中并不都有所有变量。

第三张K-图显示10个腹地被圈了起来。它们形成规范的DNF：

F(w,x,y,z) = m0 + m2 + m4 + m5 + m8 + m10 + m11 + m12 + m13 + m15 =
           = ¬w·¬x·¬y·¬z + ¬w·¬x·y·¬z + ¬w·x·¬y·¬z + ¬w·x·¬y·z + w·¬x·¬y·¬z 
             + w·¬x·y·¬z + w·¬x·y·z + w·x·¬y·¬z + w·x·¬y·z + w·x·y·z

我检查了您的简化表达式，但并不是所有的表达式都包括在内(即使有一些有用的不关心状态(标记X))。也许你做了个错字。或者在原来的表达中可能有一个错误？

Answer 3

我们可以在python中为4个变量实现K算法，如下所示.该函数接受SOP (产品和)形式的布尔函数和变量的名称，并返回简化的表示形式。基本上，您需要创建包含8、4、2等两个幂项的矩形组，并尝试在一个组中覆盖尽可能多的元素(我们需要覆盖所有元素)。

例如，函数可以用SOP形式的F(w，x，y，z) =xy‘+x’z‘+ wxz +wx’y表示为f(w，x，y，z)=∑(0,2,4,5,8,10,11,12,13,15)，如下表所示：

从下一个代码片段的输出可以看出，程序输出简化形式x¬y + ¬x¬z + wyz，其中布尔变量x的否定在代码中表示为¬x。

from collections import defaultdict
from itertools import permutations, product
    
def kv_map(sop, vars):
    
    sop = set(sop)
    not_covered = sop.copy()
    sop_covered = set([])
    
    mts = [] # minterms
    
    # check for minterms with 1 variable
    all_3 = [''.join(x) for x in product('01', repeat=3)]
    for i in range(4):
        for v_i in [0,1]:
                if len(not_covered) == 0: continue
                mt = ('' if v_i else '¬') + vars[i]
                s = [x[:i]+str(v_i)+x[i:] for x in all_3]
                sop1 = set(map(lambda x: int(x,2), s))
                if len(sop1 & sop) == 8 and len(sop_covered & sop1) < 8: # if not already covered
                    mts.append(mt)
                    sop_covered |= sop1
                    not_covered = not_covered - sop1
        if len(not_covered) == 0:
           return mts
    
    # check for minterms with 2 variables
    all_2 = [''.join(x) for x in product('01', repeat=2)]
    for i in range(4):
        for j in range(i+1, 4):
            for v_i in [0,1]:
                for v_j in [0,1]:
                    if len(not_covered) == 0: continue
                    mt = ('' if v_i else '¬') + vars[i] + ('' if v_j else '¬') + vars[j]
                    s = [x[:i]+str(v_i)+x[i:] for x in all_2]
                    s = [x[:j]+str(v_j)+x[j:] for x in s]
                    sop1 = set(map(lambda x: int(x,2), s))
                    if len(sop1 & sop) == 4 and len(sop_covered & sop1) < 4: # if not already covered
                        mts.append(mt)
                        sop_covered |= sop1
                        not_covered = not_covered - sop1
    if len(not_covered) == 0:
        return mts

    # check for minterms with 3 variables similarly (code omitted)
    # ... ... ...
    
    return mts
    
mts = kv_map([0,2,4,5,8,10,11,12,13,15], ['w', 'x', 'y', 'z'])
mts
# ['x¬y', '¬x¬z', 'wyz']

下面的动画展示了上面的代码(贪婪地)如何简化了SOP形式的布尔函数(基本目标是覆盖所有的1s和最少的功耗-2块)。由于算法是贪婪的，它可能会被困在一些局部极小，这是我们需要小心的。

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