不节能的速度verlet算法

Question

我当时的印象是，如果被建模的系统确实这样做了，那么该算法应该可以节省能量。我在建立太阳系的模型，它应该能节约能源。该程序保留角动量并产生稳定的轨道，但总能量(动能+引力势)在某些基线附近振荡。振荡是显著的。是否有共同的原因可能会发生这种情况？

模型假设行星是点质量，圆形轨道(我也尝试过椭圆轨道，能量仍然振荡)，并使用牛顿力学。我想不出程序的其他特性可能会影响到结果。

如果只是预期能量会振荡，是什么原因呢？

Answer 1

从评论中合并:对于一个完整的引力N体问题，我不认为任何数值积分器都是辛的。速度Verlet是不辛的，即使一个点绕中心运行(很容易检验，因为它有一个简单的解析解，g= v^2/R)。因此，我建议尝试一个高阶积分器(例如Runge)，如果能量偏差几乎消失(这意味着计算一般是正确的)，你可以对合并的动能进行调整，以保持总能量显着地守恒。具体来说，您计算更新的Ekin_actual和Ekin_desired = Etotal_initial -E潜，并按sqrt(Ekin_desired / Ekin_actual)缩放所有速度。

Answer 2

查阅由Hairer等人撰写的论文。(用St rmer/Verlet方法说明的几何数值积分)。网上应该有几个来源。

总之，辛积分器保留一个哈密顿量，从而保持能量，但它是一个修正的哈密顿量。如果该方法被正确初始化，则修改为O(H 2)阶的扰动，其中h是步骤大小。不正确的初始化会产生O(h)的扰动，而所观察到的振荡的振幅仍应为O(H)。

因此，由物理公式计算的振荡能量的观测模式是完全正常和预期的。如果能量(迅速)偏离这一相对稳定的模式，就会观察到一个误差。

从order 2 Verlet方法获得4阶辛积分器的一种简单但略低的方法是替换

Verlet(h)

通过

Verlet4(h) {
  Verlet(b0*h);
  Verlet(-b1*h);
  Verlet(b0*h);
}

b0=1/(2-2^(1/3))=1.35120719196…和b1=2*b0-1=1.70241438392…。这被称为“合成方法”。