Python Sympy任意逼近任意Sympy表达式？

Question

我发现自己想要使用作为拼图包的一部分提供的许可，但却对它们应该做的事情感到困惑：

http://docs.sympy.org/dev/modules/mpmath/calculus/approximation.html

交感表达式和sympy.mpmath表达式到底有什么区别？

如果我想要一个符号表达式的taylor近似，而不了解mp数包在做什么，我可以做以下工作：

#Imports
import sympy
import sympy.parsing
import sympy.parsing.sympy_parser
import Library_TaylorApproximation

#Create a sympy expression to approximate
ExampleStringExpression = 'sin(x)'
ExampleSympyExpression = sympy.parsing.sympy_parser.parse_expr(ExampleStringExpression)


#Create a taylor expantion sympy expression around the point x=0
SympyTaylorApproximation = sympy.series( 
    ExampleSympyExpression,
    sympy.Symbol('x'),
    1, 
    4,
    ).removeO()

#Cast the sympy expressions to python functions which can be evaluated:
VariableNames = [str(var) for var in SympyTaylorApproximation.free_symbols]
PythonFunctionOriginal =  sympy.lambdify(VariableNames, ExampleSympyExpression)
PythonFunctionApproximation = sympy.lambdify(VariableNames, SympyTaylorApproximation)

#Evaluate the approximation and the original at a point:
print PythonFunctionOriginal(2)
print PythonFunctionApproximation(2)

#>>> 0.909297426826
#>>> 0.870987413961

但是，如果我试图根据文档对mpmath做同样的事情：

TaylorCoefficients = sympy.mpmath.taylor(ExampleSympyExpression, 1, 4 )
print 'TaylorCoefficients', TaylorCoefficients

#>>> TypeError: 'sin' object is not callable

我可以尝试将python函数塞入其中(这是可调用的)：

TaylorCoefficients = sympy.mpmath.taylor(PythonFunctionOriginal, 1, 4 )
print 'TaylorCoefficients', TaylorCoefficients

#>>> TaylorCoefficients [mpf('0.8414709848078965'), mpf('0.0'), mpf('0.0'), mpf('0.0'), mpf('-8.3694689805155739e+57')]

但是上面的这些没有任何意义，因为我知道不能从python函数中提取导数。

我可以调用mpmath函数sin

TaylorCoefficients = sympy.mpmath.taylor(sympy.mpmath.sin, 1, 4 )
print 'TaylorCoefficients', TaylorCoefficients
#>>> TaylorCoefficients [mpf('0.8414709848078965'), mpf('0.54030230586813977'), mpf('-0.42073549240394825'), mpf('-0.090050384311356632'), mpf('0.035061291033662352')]

但是我不能用我想要的方式来操作->，就像我想要的那样

SinTimesCos = sympy.mpmath.sin*sympy.mpmath.cos
TaylorCoefficients = sympy.mpmath.taylor(SinTimesCos, 1, 4 )
print 'TaylorCoefficients', TaylorCoefficients
#>>> TypeError: unsupported operand type(s) for *: 'function' and 'function'

什么是数学函数？

它不是一个渐近表达式，也不是python函数。如何对任意表达式进行操作？

在文档中，我似乎不能接受任意的渐近表达式。http://docs.sympy.org/dev/modules/mpmath/calculus/approximation.html

如何将任意逼近( Pade / Cheby / Fourier )视为任意的渐近表达式？

编辑：

因此，我正在寻找的一个例子是下面的近似：

#Start with a sympy expression of (a, b, x)
expressionString = 'cos(a*x)*sin(b*x)*(x**2)'
expressionSympy = sympy.parsing.sympy_parser.parse_expr(expressionString)

#Do not want to decide on value of `a or b` in advance.
#Do want approximation with respect to x:

wantedSympyExpression = SympyChebyChev( expressionSympy, sympy.Symbol('x') ) 

结果可以是a和b函数的系数表达式列表。

wantedSympyExpressionCoefficients = [ Coef0Expression(a,b), Coef1Expression(a,b), ... , CoefNExpression(a,b)]

或者结果可能是整个交感表达式本身(它本身是a，b的函数)：

wantedSympyExpression = Coef0Expression(a,b) + Coef1Expression(a,b) *(x**2) + ... + CoefNExpression(a,b) (x**N)

注意，在执行近似之前，没有选择a和b。

Answer 1

mpmath函数是普通的Python函数。他们只是用任意精确的算术来计算。

但是上面的这些没有任何意义，因为我知道不能从python函数中提取导数。

你不能象征性地取导数，但是你可以通过几次求函数并使用数值微分技术来计算导数的近似。这就是sympy.mpmath.taylor所做的。引用文档的话：

系数采用高阶数值微分法计算.该函数必须能够计算到任意精度。

Answer 2

如果您有一个SymPy表达式，并且希望对它进行任意精确的计算，请使用evalf，如

sympy.sin(1).evalf(100)

在计算之前，可以使用sin(x).evalf(100, subs={x:1})将x替换为1。evalf在引擎盖下使用use，所以这将给出与use相同的结果，但不需要直接使用use。