基于多变量多项式的特征映射

Question

假设我们有一个数据矩阵

数据点

我们感兴趣的是将这些数据点映射到高维特征空间。我们可以用d次多项式来做这件事。因此，对于一个序列

数据点新的数据矩阵是

​

​

我研究过一个相关的剧本(安德鲁·吴)。将二维数据转换为更高的特征空间的在线课程)。但是，我想不出一种在任意高维样本中推广的方法，

。以下是代码：

d = 6;
m = size(D,1); 
new = ones(m);
for k = 1:d
    for l = 0:k
        new(:, end+1) = (x1.^(k-l)).*(x2.^l);
    end
end

我们能把这段代码矢量化吗？也给出了一个数据矩阵。

你能提出一种方法吗?我们如何用d维多项式将任意维数的数据点转换成更高的数据点？

PS: d维数据点的泛化将非常有用.

Answer 1

该解可以处理k变量，并生成d多项式的所有项，其中k和d是非负整数。大部分的代码长度是由于在d变量中生成一个度k多项式的所有项的组合复杂性。

它采用n_obs的k数据矩阵X，其中n_obs是观察的数目，k是变量的数目。

辅助函数

此函数生成所有可能的行，这样每个条目都是一个非负整数，行和为正整数：

the row [0, 1, 3, 0, 1]  corresponds to (x1^0)*(x1^1)*(x2^3)*(x4^0)*(x5^1)

该函数(几乎可以肯定可以更有效地编写)是：

function result = mg_sums(n_numbers, d)
if(n_numbers<=1)
    result = d;
else
    result = zeros(0, n_numbers);    
    for(i = d:-1:0)
        rc = mg_sums(n_numbers - 1, d - i);
        result = [result; i * ones(size(rc,1), 1), rc];
    end    
end

初始化码

n_obs  = 1000;  % number observations
n_vars = 3;     % number of variables
max_degree  = 4;     % order of polynomial

X = rand(n_obs, n_vars);  % generate random, strictly positive data

stacked = zeros(0, n_vars); %this will collect all the coefficients...    
for(d = 1:max_degree)          % for degree 1 polynomial to degree 'order'
    stacked = [stacked; mg_sums(n_vars, d)];
end

最后一步:方法1

newX = zeros(size(X,1), size(stacked,1));
for(i = 1:size(stacked,1))
    accumulator = ones(n_obs, 1);
    for(j = 1:n_vars)
        accumulator = accumulator .* X(:,j).^stacked(i,j);
    end
    newX(:,i) = accumulator;
end

使用方法1或方法2。

最后一步:方法2(要求数据矩阵X中的所有数据都是严格正的(问题是，如果您有0元素，则当调用矩阵代数例程时，-inf不能正确传播)。

newX = real(exp(log(X) * stacked'));  % multiplying log of data matrix by the    
                                % matrix of all possible exponent combinations
                                % effectively raises terms to powers and multiplies them!

示例运行

X = [2, 3, 5];
max_degree = 3;

叠加矩阵及其表示的多项式项是：

 1     0     0        x1           2
 0     1     0        x2           3 
 0     0     1        x3           5
 2     0     0        x1.^2        4
 1     1     0        x1.*x2       6
 1     0     1        x1.*x3       10
 0     2     0        x2.^2        9
 0     1     1        x2.*x3       15
 0     0     2        x3.^2        25
 3     0     0        x1.^3        8
 2     1     0        x1.^2.*x2    12
 2     0     1        x1.^2.*x3    20
 1     2     0        x1.*x2.^2    18
 1     1     1        x1.*x2.*x3   30
 1     0     2        x1.*x3.^2    50
 0     3     0        x2.^3        27
 0     2     1        x2.^2.*x3    45
 0     1     2        x2.*x3.^2    75
 0     0     3        x3.^3        125

如果数据矩阵X是[2, 3, 5]，这将正确地生成：

newX = [2, 3, 5, 4, 6, 10, 9, 15, 25, 8, 12, 20, 18, 30, 50, 27, 45, 75, 125];

第1列为x1，第2列为x2，第3列为x3，第4列为x1.^2，第5列为x1.*x2等。