脚本中的近似欧拉数

Question

我正在编写一个脚本，它调用一个函数get_fact来计算欧拉数到小数点10位。我的职责是：

function [ nfactorial ] = get_fact( n )
%input a non-negative integer
%output is factorial of that integer
for i=0:n
    nfactorial=prod(1:n);
end
end

现在我想通过n个从0到无穷远的循环并取1/get_fact(i)之和来计算欧拉数。

我如何写中断，以便停止循环在小数点第10位？我不允许在我的脚本中使用欧拉号。

到目前为止，我已经：

for i = 0:inf
    prod((1/ get_fact(i)))
end

但这是一个无限系列。

我在考虑用

if prod((1/ get_fact(i))) > 1E-10
break
end

但我不确定这是否是解决问题的正确方法。

Answer 1

首先，我将重写您的函数，以便找到阶乘，使之变得更简单。

function n = factorial(n)
    n = prod(1:n);
end

您的问题中的循环是不必要的，因为您从不使用循环变量i。但是，对于我的解决方案，我不会使用这个函数，因为它可能非常慢，因为您必须在每次循环迭代中计算冗余信息。

如果您仍然希望使用for循环，则需要将其重写到

function f = factorial(n)
    f = 1; % 0 factorial
    for i = 1:n
        f = f * i;
    end
end

您可以使用自然对数和logs的规则来确定一个非常准确的e值，您可以与之进行比较。您可以对照的e值是由x^(1 / log(x))给出的，其中x可以是除1以外的任何正整数，比如2。我们可以看到这个

​

现在，我们如何检查，我们计算了一个值的e到小数点10位的准确性。考虑到上面的b是e的一个非常精确的表示，我们可以与它进行比较，以确定何时达到了精确的解。

x = 2; % Any positive number other than 1
c = x^(1 / log(x));
...
if (abs(e - c) < 1e-10)
    break;
end

在我的解中，e是我用无穷和计算出来的近似值。备注：当e - c是负数时，绝对值是用来防止误报的。

现在，一种计算无限和的有效方法。我们可以利用阶乘的计算方法，而不必在每次迭代中计算它，大大提高了效率。首先，我们需要一个求和变量e来跟踪我们的近似解。然后，我们需要另一个变量来跟踪阶乘，在我的例子中是f。由于0是一个有趣的案例，我们将从它开始

e = 0;
f = 1; % 0 factorial

e = e + 1 / f;

现在我们有了无穷和中的第一个元素。接下来，我们可以使用无限和来计算一个更精确的e近似。可以在每次迭代过程中更新阶乘，f = f * n;将导致

for n = 1:inf
    f = f * n; % Compute new factorial
    e = e + 1 / f; % Infinite sum
    ...
end

现在把它放在一起产生

x = 2; % Any positive number other than 1
c = x^(1 / log(x));

e = 0;
f = 1; % 0 factorial

e = e + 1 / f;

for n = 1:inf
    f = f * n; % Compute new factorial
    e = e + 1 / f; % Infinite sum
    if (abs(e - c) < 1e-10)
        break;
    end
end