用MATLAB求解非线性方程组

Question

我遇到了一个需要求解的非线性方程组。方程组可以写成：Ax + exp(x) = b with b是一个已知的Nx1矩阵，A是一个已知的NxN矩阵，x是需要求解的未知Nx1向量。exp是在x向量上按元素定义的。我试着搜索MATLAB手册，但是我很难找到如何用MATLAB来求解这种方程，所以我希望有人能帮我解决这个问题。

Answer 1

你可以用牛顿-拉夫森。将您的系统重新安排为零剩余：

R = A * x + exp(x) - b

然后取R相对于x的导数

dRdx = A + diag(exp(x))

然后迭代。下面是一个例子：

n = 3;

a = rand(n, n);
b = rand(n, 1);

% solve a * x + exp(x) = b for x

x = zeros(n, 1);

for itr = 1: 10
    x = x - (a + diag(exp(x))) \ (a * x + exp(x) - b);
end

当然，您可以通过在残差足够小之后停止迭代来使其更智能化。

Answer 2

我会迭代求解它，从线性化系统[A+1]x(0)=b-1的解开始，作为一个初始猜测，其中1是一个恒等矩阵。在迭代过程的每一步，我将在右侧添加前面的解的指数：Ax(j)=b-exp(x(j-1))。

Answer 3

我刚看到这是个交叉柱。

这是我对其他张贴的解决方案

该函数可以用以下形式编写：

$$ f\左(x\右)=A+ \exp \左(x\右)-b $$

一旦找到$f \left( x \right) $的根，就相当于上述内容。

可以使用牛顿法查找根。

$f\左侧(x \right) $的雅可比 (类似于梯度的转置)由以下方法提供：

$$ J\左侧(f\左(x\右)\右)=A+ diag \左侧( \exp \左(x\右)\右) $$

因此，牛顿迭代是由以下几个方面提出的：

$$ {x}^{k + 1} = {x}^{k} -{J_左(f_左( {x}^{k} \右)}}{-1}f\左( {x}^{k} \右) $$

您可以在我的数学Q1462386 GitHub库中看到代码，它包括Jacobian的解析和数值推导。

这是一次运行的结果：

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请注意，虽然它找到了这个问题的根，但是有一个以上的根，因此解决方案是众多的解决方案之一，并且取决于初始点。