无EM分布高斯混合模型的Matlab: EM

Question

我必须在给定的数据集上使用四个分量来训练高斯混合模型。该装置是三维的，包含300个样本。

问题是，我不能使用日志似然来检查收敛性，因为它是-Inf。这是在计算责任公式中的高斯值时得到的四舍五入零值的结果(参见E-步骤)。

到目前为止，你能告诉我我对EM算法的实现是否正确吗？以及如何解释四舍五入的零值问题？

下面是EM算法的实现(一次迭代)：

首先，我使用初始化了，即组件的均值和协方差：

load('data1.mat');

X = Data'; % 300x3 data set
D = size(X,2); % dimension
N = size(X,1); % number of samples
K = 4; % number of Gaussian Mixture components

% Initialization
p = [0.2, 0.3, 0.2, 0.3]; % arbitrary pi
[idx,mu] = kmeans(X,K); % initial means of the components

% compute the covariance of the components
sigma = zeros(D,D,K);
for k = 1:K
    sigma(:,:,k) = cov(X(idx==k,:));
end

对于E步骤，我使用以下公式来计算责任

​

以下是相应的代码：

gm = zeros(K,N); % gaussian component in the nominator - 
                 % some values evaluate to zero
sumGM = zeros(N,1); % denominator of responsibilities
% E-step:  Evaluate the responsibilities using the current parameters
% compute the nominator and denominator of the responsibilities
for k = 1:K
    for i = 1:N
        % HERE values evalute to zero e.g. exp(-746.6228) = -Inf
        gm(k,i) = p(k)/sqrt(det(sigma(:,:,k))*(2*pi)^D)*exp(-0.5*(X(i,:)-mu(k,:))*inv(sigma(:,:,k))*(X(i,:)-mu(k,:))');
        sumGM(i) = sumGM(i) + gm(k,i);
    end
end
res = zeros(K,N); % responsibilities
Nk = zeros(4,1);
for k = 1:K
    for i = 1:N
         res(k,i) = gm(k,i)/sumGM(i);
    end
    Nk(k) = sum(res(k,:));
end

Nk(k)是用M阶的公式计算的.

M步进

​

​

% M-step: Re-estimate the parameters using the current responsibilities
mu = zeros(K,3);
for k = 1:K
    for i = 1:N
        mu(k,:) = mu(k,:) + res(k,i).*X(k,:);
        sigma(:,:,k) = sigma(:,:,k) + res(k,i).*(X(k,:)-mu(k,:))*(X(k,:)-mu(k,:))';
    end
    mu(k,:) = mu(k,:)./Nk(k);
    sigma(:,:,k) = sigma(:,:,k)./Nk(k);
    p(k) = Nk(k)/N;
end

现在，为了检查收敛性，使用以下公式计算log-似然：

​

% Evaluate the log-likelihood and check for convergence of either 
% the parameters or the log-likelihood. If not converged, go to E-step.
loglikelihood = 0;
for i = 1:N
    for k = 1:K
         loglikelihood = loglikelihood + log(gm(k,i));
    end
end

loglikelihood是-Inf，因为E-步骤中的一些gm(k,i)值为零.因此，日志显然是负无穷大的。

我该如何解决这个问题？

可以通过提高Matlab的精度来解决这个问题吗？

或者我的实现有什么问题吗？

Answer 1

根据公式，你应该计算gm量之和的对数。(因此，log(sum(gm(i，：)。在k分量中，至少有一个可能大于0。希望这能解决你的问题。

另一个非常普遍的观点是，当数字太大而不能将函数作为指数函数时，当您确定使用的是正确的公式时，您总是可以尝试使用数量的日志。但是您不需要在这里这样做，因为0是exp(-746)的一个很好的近似;)