RNG的逆运算

Question

摘要

嗨，假设您有128个比特自动机(由4个32位单词X、Y、Z、W表示)根据以下规则更改其状态：

X = ...
Y = ...
Z = ...
W = ...

void next()
{
    var t = X ^ (X << 11);

    X = Y;
    Y = Z;
    Z = W;

    W = W ^ (W >> 19) ^ (t ^ (t >> 8));
}

^ -表示二进制XOR操作

<< -表示二进制移位左移操作

>> - denotys二进制移位右操作

保证上述自动机不产生冲突，即每个状态都是一个(且只有一个)先前状态的结果。还保证上述状态机产生2^128唯一状态。

问题

对于任何给定的状态，(X,Y,Z,W)都会产生与next相反的操作，即将状态恢复到以前的状态的prev操作。

换句话说，如果您有以下状态(X=1, Y=2, Z=3, W=4)并将调用next，则状态将更改为(X=2, Y=3, Z=4, W=2061)，假设在调用prev之后，状态应该再次等于(X=1, Y=2, Z=3, W=4)。

附注：

next操作是George发现的XorShift伪随机数生成器的实现之一。

https://en.wikipedia.org/wiki/Xorshift

与此操作相反的操作通常非常有用，请考虑Guid.Next(.)、Guid.Prev(.)的含义。可用性

编辑

我在一定程度上改进了尼可拉斯B.的最初答案，并将结果移植到C#，所以下面是最后一段代码，希望有人能从Random.Next()和Random.Prev()操作中获益：

public class Xor128
{
    public UInt32 X { get; set; }
    public UInt32 Y { get; set; }
    public UInt32 Z { get; set; }
    public UInt32 W { get; set; }

    public Xor128()
    {

    }

    public Xor128(UInt32 x, UInt32 y, UInt32 z, UInt32 w)
    {
        X = x;
        Y = y;
        Z = z;
        W = w;
    }

    //private UInt32 UnXorShl(UInt32 x, Int32 shift)
    //{
    //    for (var i = shift; i < 32; i <<= 1) {
    //        x ^= x << i;
    //    }

    //    return x;
    //}

    //private UInt32 UnXorShr(UInt32 x, Int32 shift)
    //{
    //    for (var i = shift; i < 32; i <<= 1) {
    //        x ^= x >> i;
    //    }

    //    return x;
    //}

    //public UInt32 Prev()
    //{
    //    var t = UnXorShr(W ^ Z ^ (Z >> 19), 8);

    //    W = Z;
    //    Z = Y;
    //    Y = X;
    //    X = UnXorShl(t, 11);

    //    return W;
    //}

    public UInt32 Prev()
    {
        var t = W ^ Z ^ (Z >> 19);

        t ^= t >> 8;
        t ^= t >> 16;

        W = Z;
        Z = Y;
        Y = X;

        t ^= t << 11;
        t ^= t << 22;

        X = t;

        return W;
    }


    public UInt32 Curr()
    {
        return W;
    }

    public UInt32 Next()
    {
        UInt32 t = X ^ (X << 11);

        X = Y;
        Y = Z;
        Z = W;

        return W = W ^ (W >> 19) ^ (t ^ (t >> 8));
    }
}

顺便说一下。这里有一个快速版本：

public class Xor128 {
    public var X: UInt32
    public var Y: UInt32
    public var Z: UInt32
    public var W: UInt32
    
    public convenience init(uuid: uuid_t) {
        let xa = (UInt32(uuid.0 ) << 24)
        let xb = (UInt32(uuid.1 ) << 16)
        let xc = (UInt32(uuid.2 ) << 8 )
        let xd = (UInt32(uuid.3 ) << 0 )

        let ya = (UInt32(uuid.4 ) << 24)
        let yb = (UInt32(uuid.5 ) << 16)
        let yc = (UInt32(uuid.6 ) << 8 )
        let yd = (UInt32(uuid.7 ) << 0 )
        
        let za = (UInt32(uuid.8 ) << 24)
        let zb = (UInt32(uuid.9 ) << 16)
        let zc = (UInt32(uuid.10) << 8 )
        let zd = (UInt32(uuid.11) << 0 )

        let wa = (UInt32(uuid.12) << 24)
        let wb = (UInt32(uuid.13) << 16)
        let wc = (UInt32(uuid.14) << 8 )
        let wd = (UInt32(uuid.15) << 0)
        
        self.init(
            x: xa + xb + xc + xd,
            y: ya + yb + yc + yd,
            z: za + zb + zc + zd,
            w: wa + wb + wc + wd
        )
    }
    
    public convenience init(uuid: UUID) {
        self.init(uuid: uuid.uuid)
    }
    
    public init(x: UInt32, y: UInt32, z: uint32, w: UInt32) {
        X = x
        Y = y
        Z = z
        W = w
    }
    
    @discardableResult
    public func next() -> UInt32 {
        let t = X ^ (X << 11);
        
        X = Y;
        Y = Z;
        Z = W;
        
        W = W ^ (W >> 19) ^ (t ^ (t >> 8))
        
        return W;
    }
    
    public var curr: UInt32 {
        return W
    }
    
    @discardableResult
    public func prev() -> UInt32 {
        var t = W ^ Z ^ (Z >> 19);
        
        t ^= t >> 8;
        t ^= t >> 16;
        
        W = Z;
        Z = Y;
        Y = X;
        
        t ^= t << 11;
        t ^= t << 22;
        
        X = t;
        
        return W;
    }
}

Answer 1

您需要的基本构建块是对一些s> 0使用左移位操作f(x) = x ^ (x << s)反转异或的算法。给定f(x)，您已经直接知道了x的下s位。

您可以从低到高迭代地重构其余的位，因为您已经知道在每一点上都有两个位是XORed，以得到f(x)的位。下面是Python中的一个示例：

def reverse_xor_lshift(y, shift, w=32):
    x = y & ((1<<shift) - 1)
    for i in range(w - shift):
        x |= (1 if bool(x & (1<<i)) ^ bool(y & (1<<(shift+i))) else 0)<<(shift+i)
    return x

现在剩下的就变得相当容易了。请注意，对于右移位模拟，我重复使用左移位反转：

def reverse_bin(x, w=32):
    return int(bin(x)[2:].rjust(w, '0')[::-1], 2)

def reverse_xor_rshift(y, shift, w=32):
    # for simplicity, we just reuse reverse_xor_lshift here
    return reverse_bin(reverse_xor_lshift(reverse_bin(y), shift))

def forward(X, Y, Z, W):
    t = (X ^ (X << 11)) & 0xffffffff
    X = Y
    Y = Z
    Z = W
    W = W ^ (W >> 19) ^ (t ^ (t >> 8))
    return (X, Y, Z, W)

def backward(X, Y, Z, W):
    t = reverse_xor_rshift(W ^ Z ^ (Z >> 19), 8)
    return (reverse_xor_lshift(t, 11), X, Y, Z)

backward是逆转状态转换的函数。一些随机测试：

import random
for _ in range(1000):
    X, Y, Z, W = [random.randint(0,2**32-1) for _ in range(4)]
    assert backward(*forward(X,Y,Z,W)) == (X, Y, Z, W)

似乎很管用。

Answer 2

对于Y，Z和W，我们可以很容易地逆转它。对于X，我们需要做一些观察：

W' = W ^ (W >> 19) ^ (t ^ (t >> 8)), -> t ^ (t >> 8) = W' ^ (W ^ (W >> 19))

所以，现在，我们有t ^ (t >> 8) = W' ^ (W ^ (W >> 19)) = a

t = X ^ (X << 11) 

-> t ^ (t >> 8) = X ^ (X << 11) ^ ((X ^ (X <<11)) >> 8) 
                = X ^ (X << 11) ^ (X >> 8) ^ (X << 3)

将X的每一位表示为x0，x1，x2，x31，以及a的每一小部分，如a0，a1，.我们可以形成如下方程组：

x0 ^ x8 = a0
x1 ^ x9 = a1
.....

或相当于：

(x0 + x8) % 2 = a0
(x1 + x9) % 2 = a1
....

应用Gaussian elimination可以很容易地解决这一问题。