3×3幻方递归

Question

我正在努力寻找3X3魔方的所有可能的解决方案。应该有8种解决方案。

我的代码得到了它们，但是有很多重复。我很难跟踪递归步骤，以了解为什么要获得所有的重复。

// This program finds all solutions to the magic square for a 3X3     
// square where each column, row and diagonal sum is equal

#include <iostream>
using namespace std;
#define SQUARE_SIZE 9

int anyLine = 0;
int currLine = 0;
int numSolutions = 0;


// swap two values in the square.
void swap(int arr[], int idxa, int idxb)
{
    int tmp = arr[idxa];
    arr[idxa] = arr[idxb];
    arr[idxb] = tmp;
}

void printArray(int arr[])
{
    for (int i = 0; i < SQUARE_SIZE; i++)
    {
        cout << arr[i] << " ";
        if ((i + 1) % 3 == 0)
            cout << endl;
    }
    cout << endl;
}

// this function tests to see if we have a "good" arrangement of numbers            
// i.e the sum of each row, column and diagonal is equal

bool checkArr(int arr[])
{
    anyLine = arr[0] + arr[1] + arr[2];
    currLine = 0;
    for (int i = 0; i < SQUARE_SIZE; i++)
    {
        currLine += arr[i];
        if ((i + 1) % 3 == 0)
        {
            if (currLine != anyLine)
                return false;
            currLine = 0;
        }
    }

    // check vertically
    for (int col = 0; col <3; col++)
    {
        for (int row = 0; row <3; row++)
        {
            currLine += arr[col + 3 * row];
        }

        if (currLine != anyLine)
            return false;

        currLine = 0;
    }

    // check the diagonals
    if ((arr[2] + arr[4] + arr[6]) != anyLine)
        return false;

    if ((arr[0] + arr[4] + arr[8]) != anyLine)
        return false;

    return true;
}

void solve(int arr[], int pos)
{
    if (pos == 8)
    {
        if (checkArr(arr))
        {
            printArray(arr);
            numSolutions++;
        }
    } else 
    {
        for (int i = 0; i < 9; i++)
        {
            if (i == pos) continue;

            if (checkArr(arr))
            {
                printArray(arr);
                numSolutions++;
            }
            swap(arr, pos, i);
            solve(arr, pos + 1);
        }
    }
}

int main()
{
    int arr[SQUARE_SIZE] = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 };

    solve(arr, 0);
    cout << "number of solutions is: " << numSolutions << endl;

    return 0;
}

Answer 1

基本上，您正在使用递归置换算法查找数组的所有排列。

有四件事你需要改变：

首先，从pos开始循环，而不是0。

第二，在递归之后返回交换元素(回溯)

第三，只有在生成了每个完整的排列(当pos = 8)之后才进行测试，否则您将不止一次地测试相同的排列。

第四，用自己交换元素(即不交换元素)是一个有效的排列，因为元素可以保留在它们原来的位置上。

void solve(int arr[], int pos)
{
    if (pos == 8)
    {
        if (checkArr(arr))
        {
            printArray(arr);
            numSolutions++;
        }
    }
    else
    {
        for (int i = pos ; i < 9; i++)
        { 
            swap(arr,pos,i);
            solve(arr,pos +1);
            swap(arr,pos,i); 
        }
    }
}

演示

Answer 2

您的代码从两个位置调用printArray --递归的基本情况(即pos == 8时)和调用swap之前的循环中。第二个调用是不必要的:当您到达pos == 8状态时，您将得到相同的平方。

这就减少了重复的数量，但是由于你生成正方形的方式，它并不能消除它们。你需要跟踪已经印好的东西。一种方法是创建一组您已经找到的解决方案，并在打印新发现的解决方案之前对其进行检查：

set<int> seen;

int key(int arr[]) {
    return arr[0]
    + 10 * arr[1]
    + 100 * arr[2]
    + 1000 * arr[3]
    + 10000 * arr[4]
    + 100000 * arr[5]
    + 1000000 * arr[6]
    + 10000000 * arr[7]
    + 100000000 * arr[8];
}

 void printArray(int arr[]) {
    if (!seen.insert(key(arr)).second) {
        // second is set to false when a duplicate is found
        return;
    }
    numSolutions++;
    for (int i = 0; i < SQUARE_SIZE; i++) {
        cout << arr[i] << " ";
        if((i+1) % 3 == 0)
            cout << endl;
    }
    cout << endl;
 }

演示。

关于上面的解决方案，有几点需要注意：

• key(int[])将平方转换为单个十进制数，因此这种方法只适用于由十进制数字组成的平方。对于任意数字，您需要一种不同的策略，例如，使用一组逗号分隔的字符串。
• 解决方案的计数被移到printArray(int[])。您可以完全放弃numSolutions，转而使用seen.size()；它提供了相同的答案。

Answer 3

如果您不想为了锻炼的目的递归地解决这个问题，我建议您使用std::next_permutation

void solve(int(&arr)[SQUARE_SIZE], int pos)
{
    sort(std::begin(arr), std::end(arr));
    do {
        if (checkArr(arr))  { 
            numSolutions++;
            printArray(arr);
        }
    } while (next_permutation(begin(arr), end(arr)));   
}