带quadProg库的约束二次优化

Question

我有一个长度为A的向量N。另外，我还有N*N矩阵C。我想最大限度地利用以下公式：

minimize (- (w_transpose * A) + p * w_transpose * C * w)

其中w是长度为N的向量，其约束条件是每个w是非负的，所有w之和为1。

我见过一个叫quadProg的包裹。在此，我需要具体说明：

Dmat = C、dvec = A和bvec = w

但不确定如何在那里应用上述约束。

我想我可以提供Amat作为一个恒等矩阵，它将使所有的w保持非负。但不确定如何使w规范化(和等于零)。事实上，我以后也可以将它们正常化，但我仍然在想，我是否可以在这里自己做到这一点。

Answer 1

您可以使用solve.QP函数来完成这一任务。在?solve.QP中，我们看到solve.QP解决了表单min_b {-d'b + 0.5 b'Db | A'b >= b0}的系统。您正在解决表单min_w {-A'w + pw'Cw | w >= 0, 1'w = 1}的问题。因此，表格之间的映射：

• d = A (在solve.QP的参数中称为dvec )
• D = 2pC (在solve.QP的参数中称为Dmat )
• 对于第一组约束，您有I'w >= 0。最后的约束可以重新表示为1'w >= 1和-1'w >= -1。因此，约束的A矩阵(Amat在solve.QP的参数中)是一个恒等矩阵，右边附加了一个向量和一个-1向量，右边的b0 (solve.QP参数中的bvec)是一个附加了1和-1的0向量。

你可以很容易地把它们放在R中：

library(quadprog)
solve.my.QP <- function(A, p, C) {
  solve.QP(Dmat=2*p*C,
           dvec=A,
           Amat=cbind(diag(1, length(A)), rep(1, length(A)), rep(-1, length(A))),
           bvec=c(rep(0, length(A)), 1, -1))$solution
}

您可以在一些简单的二维问题上测试它：

# Even penalty
solve.my.QP(c(0, 0), 1, diag(1, 2))
# [1] 0.5 0.5

# Encourage inclusion of first variable
solve.my.QP(c(0.1, 0), 1, diag(1, 2))
# [1] 0.525 0.475