如何给出数学证明或支持我的答案通过推理作为一个一般的情况？

Question

您正在管理一个软件项目，其中涉及建立一个计算机辅助的医疗外科仪器。手术刀的确切位置取决于许多不同的参数，通常至少25，有时更多。您的程序员开发了两种用于定位刀具的算法，并正在征求您对使用哪种算法的建议：

算法A的平均运行时间为n，最坏的运行时间为n^4，其中n是输入参数的数目。 算法B的平均运行时间为n(log n)^3，而最坏的情况是n^2。您赞成将哪种算法包含在软件中？证明你的答案是正确的。

我认为我应该选择算法1，因为在医学上，我们必须更加专注于拯救更多的人的生命，所以一般情况应该更好，但是对于最坏的情况，我们可以应用一些优化来更好地工作，或者我们可以选择算法2。但是我不知道如何从数学上证明我是正确的。

所有感兴趣的读者。然而，我已经标记了第一个答案好，但实际上，要得到所有的视角，做阅读评论和第二个答案。

Answer 1

这将是一个hard real-time system -如果错过最后期限，那么病人可能会死亡。因此，算法B是首选算法，因为您可以围绕n^2最坏的情况设计硬件，而使用算法A，硬件必须考虑到n^4最坏的情况(平均情况并不重要，因为系统表面上是为了挽救每个病人的生命，而不是病人生命的80% )。

这假设硬件预算不是一个因素。如果硬件预算是一个因素(例如，机器打算出售给资金短缺的设施)，那么算法A是首选的，因为硬件可以为n平均情况设计--这将导致n^4病例中的病人死亡，但可能会有更多的病人通过使用这些机器而得到挽救。然而，这超出了计算机科学的范围，更多地进入了伦理学的范围--我更喜欢的答案是选择算法B，并为像样的硬件付费。

Answer 2

首先，我认为你需要确定平均手术所需的时间。显然，如果O(n)或O(n*(log_n)^3)明显慢于平均过程时间，那么两者都不会。如果前者足够，但后者会导致生命损失或无法接受的用户体验，那么您可以排除后一种算法。假设这两种运行时间都能满足平均需求，那么接下来要检查的是最坏的运行时间。O(n)算法在最坏的情况下运行时会受到很大的惩罚-- O(n^4)，而O(n*(log_n)^3)在最坏的情况下只运行O(n^2)。对于数据集中的每一个手术过程，你应该检查病人在接受手术之前能存活多久，在最坏的情况下每种算法。如果由于潜在的O(n^4)性能可能会造成许多生命损失，那么您可能会排除这种算法。