计算面积/多边形上二元正态分布的概率

Question

我试图计算特定区域上二元正态分布的概率，这是java中的一个特定多边形。

数学描述是将特定复杂区域上二元正态分布的概率密度函数(、pdf、)结合起来。

我的第一种方法是在NormalDistribution库的帮助下使用两个apache-commons-math对象。给定维度1的dataset x和维度2的dataset y，我计算了每个NormalDistribution的均值和标准差。

使用public double probability(double x0, double x1) from org.​apache.​commons.​math3.​distribution.​NormalDistribution的方法，我可以为每个维度设置一个单独的间隔，这意味着我可以定义一个矩形区域，并通过

NormalDistribution normalX = new NormalDistribution(means[0], stdDeviation_x);
NormalDistribution normalY = new NormalDistribution(means[1], stdDeviation_y);

double probabilityOfRect = normalX.probability(x1, x2) * normalY.probability(y1, y2);

如果标准偏差足够小，定义的区域足够大，那么概率将接近1.0 (0.99999999999)，这是预期的。

正如我已经说过的，我需要计算一个特定的区域，我的第一种方法不能这样工作，因为我只能定义矩形区域。

因此，我的第二种方法是使用类MultivariateNormalDistribution，它也是在apache-commons-math中实现的。

通过使用向量均值和协方差矩阵的MultivariateNormalDistribution，我可以用public double density(double[] vals)得到特定点x的pdf，就像描述中所说的

返回在指定点x处计算的此分布的概率密度函数(PDF)。

[http://commons.apache.org/proper/commons-math/apidocs/org/apache/commons/math3/distribution/MultivariateNormalDistribution.html#density(double[])](http://commons.apache.org/proper/commons-math/apidocs/org/apache/commons/math3/distribution/MultivariateNormalDistribution.html#density(double[]%29)

在这种方法中，我在点的ArrayList中转换我的复杂区域，然后通过迭代ArrayList来总结所有密度，如下所示：

MultivariateNormalDistribution mnd = new MultivariateNormalDistribution(means, covariances);
double sum = 0.0;
    for(Point p : complexArea) {
    double[] pos = {p.x, p.y};
    sum += mnd.density(pos);
}
return sum;

但是，当我将标准差设置为非常低的值时，我遇到了一个缺乏精确性的问题，以便pdf在我称为mnd.density(pos)的位置包含峰值>1。所以求和等于值大于1。

为了避免这些峰值，我试图总结一个求和值的平均值，它是当前点的双精度的周围点

MultivariateNormalDistribution mnd = new MultivariateNormalDistribution(means, covariances);
double sum = 0.0;
for(Point p : surfacePoints) {
    double tmpRes = 0.0;

    for(double x = p.x - 0.5; x < p.x + 0.5; x+=0.1) {
        for(double y = p.y - 0.5; y < p.y + 0.5; y+=0.1) {
            double[] pos = {x, y};
            tmpRes += mnd.density(pos);
        }
    }
    sum += tmpRes / 100.0;
}

return sum;

很明显很管用。

总之，我不太确定我的方法是否从根本上正确。另一种方法是用数值积分计算概率，但我不知道如何在java中实现这一点。

是否还有其他实现这一目标的可能性？

编辑:除了缺乏准确性的事实，主要问题是:第二种方法“总结密度”是否是在二元正态分布区域内获得概率的有效方法？考虑到一维正态分布，一个特定点的概率总是0.Apache数学库中的public double density(double[] vals)方法如何获得有效值？

Answer 1

当前的方法是通过在具有整数坐标的点上采样来执行数值积分，并将每个点的值赋给整个正方形。这有两个主要的错误来源。一是函数在方格内可能有很大变化。另一个是边界，在这里，你在区域内不完全包含的正方形上进行积分。第三个错误来源是舍入，但这很少有意义，因为其他来源的错误是巨大的。

减少错误的一个简单方法是使用更精细的网格。如果你用整数除以n的坐标(乘以1/n的面积n^-2乘以1/n平方)采样，这将减少这两个误差源。一个问题是，你在n^2点附近取样。

我建议把区域上的双积分写成积分的积分。

内部积分(例如，关于x)将是区间上一维高斯的积分，如果区域是凸的，或者在最坏的情况下，在有限的积分列表上。您可以将被限制为特定y坐标y0的pdf沿着多边形与水平线y=y0的交点进行集成。您可以使用像erf，在库中进行了数值近似。这样的函数来计算内部积分，也可以使用一维数值积分进行计算。

外积分(例如，相对于y)自然分解成几个部分。当存在多边形点时，外部积分内的函数可能不是光滑的。因此，用多边形顶点的y坐标分解外部积分，并在每个区间上做一个数值积分，如梯形规则或辛普森法则。这就要求你在每个区间的几个点上对内部积分进行评估，并对它们进行适当的加权。

这应该会在给定的时间内产生更精确的结果，而不是简单地细化网格。

Answer 2

请参见：

Didonato，A.R.，Jarnagin Jr.，M.P.，& Hageman，R.K.(1980年)。凸多边形上二元正态分布积分的计算。“科学和统计计算杂志”，1(2)，179-186。doi:10.1137/0901010

(如果您的多边形不是凸的，则在同一问题上有另一篇论文处理一般情况。)