Matlab与Mathematica :求密度函数

Question

标准伽玛发行版的pdf是$f(x) = \frac{x^{\gamma-1} \exp(-x)}{\Gamma(\gamma)}$。如何找到随机变量Z = X + Y的pdf，其中Y是正态分布？没有封闭形式的解析解，很难解析开始。所以，我想知道是否有一种方法可以使用软件工具来用卷积来计算pdf。

Answer 1

如何找到随机变量Z=X+Y的pdf，其中Y是正态分布？

所以你的意思是X是伽玛分布。在Mathematica：

d = TransformedDistribution[x + y, 
   {Distributed[x, GammaDistribution[alpha, beta]], 
   Distributed[y, NormalDistribution[mu, std]]}];
PDF[d, x] // Simplify

给出

 (1/(Sqrt[Pi]*Gamma[alpha]))*((2^(-2 + alpha/2)*beta^(-1 - alpha)*
 std^(-2 + alpha)*             
  (Sqrt[2]*beta*std*Gamma[alpha/2]*Hypergeometric1F1[alpha/2, 1/2, 
  (std^2 + beta*(mu - x))^2/(2*beta^2*std^2)] - 
            2*(std^2 + beta*(mu - x))*Gamma[(1 + alpha)/2]*
        Hypergeometric1F1[(1 + alpha)/2, 3/2, (std^2 + beta
    *(mu - x))^2/(2*beta^2*std^2)]))/
      E^((mu - x)^2/(2*std^2)))

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Mean[d]

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Variance[d]

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绘制一些参数

 Plot[pdf /. {mu -> 0, std -> 1, alpha -> 1, beta -> 2}, {x, -3, 10}]

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Plot[pdf /. {mu -> .5, std -> 2, alpha -> 1, beta -> 5}, {x, -6, 20}]

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