透视投影:证明1/z是线性的？

Question

在三维渲染(或几何学)中，在栅格化算法中，当你将三角形的顶点投影到屏幕上，然后发现一个像素是否与2D三角形重叠时，你通常需要找到像素重叠的三角形的深度或z坐标。一般情况下，该方法包括计算三角形二维投影图像中像素的重心坐标，然后利用这些坐标插值三角形原始顶点z-坐标(在顶点得到投影之前)。

现在，在所有的教科书中都写着，您不能直接插值顶点的顶点坐标，但是您需要这样做：

(对不起，拉泰克斯不能上班了？)

1/z = w0 * 1/v0.z + w1 * 1/v1.z + w2 * 1/v2.z

其中w0、w1和w2是三角形上“像素”的重心坐标。

现在，我所关心的有两件事：

• 用什么形式证明插值z不起作用？
• 证明1/z做正确事情的正式证据是什么？

为了证明这不是在家工作;-)而且我自己做了一些工作，我找到了关于问题2的以下解释。

基本上，三角形可以用平面方程来定义。这样你就可以写：

Ax + By + Cz = D.

然后分离z，得到z= (D By)/C

然后，将这个公式除以z，就像用透视除法一样，如果您开发、重新组合等等，就会得到：

1/z = C/D + A/D_x/z + B/D_y/z。

然后我们将C'=C/D、B'=B/D和A'=A/D命名为：

1/z = A'x/z + B'y/z + C‘

它说x/z和y/z只是屏幕上三角形点的坐标，右边的方程是“仿射”函数，因此1/z是线性函数？

在我看来这不像是个示范？或者这也许是正确的想法，但不能真正说，你可以通过看方程来判断这是一个仿射函数。如果你把你刚刚得到的所有术语乘以：

A'x + B'y + C'z = 1。

这基本上是我们的原始方程(只需要用适当的术语替换A‘B’和C‘)。

Answer 1

不知道你想问什么，但如果你看看：

1/z = A'x/z + B'y/z + C'

并将其改写为：

1/z = A'u + B'v + C'

当(u,v)是透视投影后三角形的屏幕坐标时，你可以看到三角形上一个点的深度(z)与(u,v)不是线性相关的，而是1/depth是的，这就是教科书试图教你的。