在进行乘法时溢出

Question

我想计算(N* N *(N+1)/2) mod M的值，其中这个N最多可以达到10^18，而M的最大值是10^7。我试着对它进行编码，但不知道其溢出的原因。这是我的代码：

总的来说，我会做这样的事情：

long long tt=mulmod(N,N+1,MOD)*InverseEuler(2,MOD);
long long mm=mulmod(tt,N,MOD);

多函数求(A*B)%C。其内容如下：

long long mulmod(long long a,long long b,long long c)
{    
    long long x = 0,y = a%c;
    while(b > 0)
    {
        if(b%2 == 1)
        {
            x = (x+y)%c;
        }
        y = (y*2)%c;
        b /= 2;
    }
    return x%c;
}

反欧拉也是这样的：

long long p(long long n,int m,long long int MOD)
{
    if(m == 0) return 1%MOD;

    long long x = p(n,m/2,MOD);
    if(m%2 == 0)
        return (x*x)%MOD;
    else
        return (((x*x)%MOD)*n)%MOD;
}
long long InverseEuler(int n,int MOD)
{
    return p(n,MOD-2,MOD);
}

请帮助我查找这段代码中的错误。

Answer 1

问题是，如果提供正确(或错误)操作数集，则每个操作都会溢出。

刚才的代码在注释中暗示，模10^7不会溢出一个长(实际上不会溢出一个长)

你需要利用这些身份

• (a+b)%c == ((a%c) + (b%c))%c
• (a*b)%c == ((a%c)*(b%c))%c

这些恒等式的数学证明是微不足道的。

如果a和b的值接近long long所能表示的值的极限，那么添加或乘以它们就会溢出。但是，这些标识右侧的表达式使用模运算符来避免可能溢出的加法或乘法。

也不需要使用循环。