特征向量实现Jacobi算法

Question

我正在实现Jacobi算法，以求对称矩阵的特征向量。我不明白为什么我从我的应用程序中得到不同的特征向量(与我的结果相同，这里是：http://fptchlx02.tu-graz.ac.at/cgi-bin/access.com?c1=0000&c2=0000&c3=0000&file=0638)和来自Wolfram：http://www.wolframalpha.com/input/?i=eigenvector%7B%7B1%2C2%2C3%7D%2C%7B2%2C2%2C1%7D%2C%7B3%2C1%2C1%7D%7D的不同

示例矩阵：

1 2 3
2 2 1 
3 1 1

我的结果是：

0.7400944496522529, 0.6305371413491765, 0.23384421945632447
-0.20230251371232585, 0.5403584533063043, -0.8167535949636785
-0.6413531776951003, 0.5571668060588798, 0.5274763043839444

来自西澳大利亚的结果：

1.13168, 0.969831, 1 
-1.15396, 0.315431, 1 
0.443327, -1.54842, 1 

我希望这个解决方案是微不足道的，但我找不到。我在mathoverflow上问过这个问题，他们告诉我这个网站。

Answer 1

矩阵的特征向量不是唯一的，并且存在多种可能的分解；事实上，只有特征空间才能被唯一地定义。您所收到的两个结果都是有效的。通过要求Wolfram将第二个矩阵正交化，您可以很容易地看到这一点。运行以下查询

Orthogonalize[{{1.13168, 0.969831, 1.}, {-1.15396, 0.315431, 1.}, {0.443327, -1.54842, 1.}}]

获得

 0.630537    0.540358    0.557168
-0.740094    0.202306    0.641353
 0.233844   -0.816754    0.527475

现在，您可以看到您的算法返回正确的结果。首先，矩阵被转置: WA给你行向量，你的算法在列中返回它们。然后，第一个向量乘以a-1，但是任何特征向量都可以乘以一个非零常数来产生有效的本征向量。否则，结果完全吻合。

您可能还会发现以下数学StackExchange答案很有帮助：实对称矩阵的特征向量是否总是不变的正交基？