必要和充分的与健全和完整的

Question

我在努力学习证据。我碰到了这四个词。我试着把所有的事联系起来。

A: X>Y B: Y<X

Necessary Condition 
             B implies A
Sufficient Condition 
             A implies B

和

A = { set of statements}  Q= a statement

Soundness 
        if A derives Q then A is a logical consequence of Q
Completeness
         if A is a logical consequence of Q then A derives Q.

什么是一切之间的关系？我们很感激你的帮助。

Answer 1

必要/充分与健全性和完整性没有多大关系，所以我将分别解释这两个概念。

必要条件/充分

在您的示例中，这两个语句是等价的：X>Y当且仅当Y<X。因此，B确实意味着A，而A则意味着B。一个更好的例子也许是：

A: X>Y+1
B: X>Y

在这里，A将暗示B，即A足以容纳B。另一种方式不适用：B并不意味着A (因为您可以拥有X=10和Y=9，在这种情况下，只有B才能保持)。这意味着A对于B来说不是必需的。

Completeness/soundness

当我第一次遇到它的时候，我花了一段时间才意识到这一点。但这真的很简单！

假设您有以下内容：

A = { X>Y, Y>Z }
Q = X>Z

现在，无声无息地说，坚持A的说法是不可能达到疯狂的。更正式地说，如果Q不成立，它就不能从A派生出来。或者，只有有效的东西可以从A中派生出来。

很容易创建一组不健全的语句。举个例子

A = { x<Y, X>Y }

它们相互矛盾，例如，我们可以通过矛盾证明来导出X>X (这是假的)。

完整性是双重的:所有有效的东西都可以从A中派生出来。假设X、Y和Z是世界上唯一的变量，>是世界上唯一的关系。然后是一组语句，如

A = { X>Y, Y>Z }

是完全的，因为对于任意两个给定的变量，a和b，我们可以导出a>b当且仅当a>b实际上是成立的。

如果我们能

A = { X>Y }  (and no knowledge about Z)

然后，这组语句将不完整，因为会有关于Z的真实声明，我们什么也不能说。

简而言之:健全说你不能得出疯狂的结论，而完整性则表示你可以得出所有合理的结论。